intégration

[invite769a1844]

Bonsoir j'ai un souci avec cet exo:

Soit

1) Justifier la mesurabilité de dans .

2) Justifier l'existence dans de l'intégrale et déterminer la valeur de cette intégrale.

Bon pour la 1) c'est ok.

Pour justifier l'existence de l'intégrale, je dis que définie par , est continue sur et mesurable, donc est mesurable.

De plus , est intégrable sur .

D'après le théorème de Fubini, on a alors :

,

avec

;

.


donc

,

je calcule ensuite ,

et je trouve .

Donc ,


et là je ne vois pas vraiment comment calculer ,

merci pour vos indications.
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[invite769a1844]

Bon ça a l'air trop long et compliqué avec cette technique, j'essaie plutôt en passant en coordonnées polaires, mais comment justifier ici qu'on peut utiliser le théorème du changement de variable avec:

,

étant le -difféomorphisme (établi parmi les hypothèses du théorème de changement de variable) d'un ouvert qui a pour image le fermé .

Je ne vois pas vraiment quel est l'ensemble de départ de .

[invite769a1844]

Je re poste mon premier message avec les bonnes données, j'ai fait un léger oubli sur la fonction g:

Soit

1) Justifier la mesurabilité de dans .

2) Justifier l'existence dans de l'intégrale et déterminer la valeur de cette intégrale.

Bon pour la 1) c'est ok.

Pour justifier l'existence de l'intégrale, je dis que définie par , est continue sur et mesurable, donc est mesurable.

De plus , est intégrable sur .

D'après le théorème de Fubini, on a alors :

,

avec

;

.


donc

,

je calcule ensuite ,

et je trouve .

Donc ,


et là je ne vois pas vraiment comment calculer .

[invite57a1e779]

Je ne suis déjà pas d'accord sur le calcul de . Je trouve personnellement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Je ne suis déjà pas d'accord sur le calcul de . Je trouve personnellement

oui effectivement, je me suis trompé dans l'IPP, je reprendrai ce calcul un peu plus tard.

Mais pour la méthode ou on passe en coordonnées polaires, comment on peut le justifier vu que A est fermé et pas ouvert, on est pas dans les conditions du théorème de chnagement de variable?

[invite57a1e779]

Je ne vois pas en quoi le fait que le domaine d'intégration soit fermé gêne pour le changement de variables.
On intègre couramment par changement de variables sur des domaines compacts.
Le domaine sera défini en polaires par et .

[invite769a1844]

oui en coordonnées polaires, ça a l'air plus facile, je l'ai preque finie.

Mais c'est juste que le théorème du changement de variable énoncé dans le cours est:

Soient et deux ouverts de pour lesquels il existe une bijection de classe ainsi que sa bijection réciproque.

Alors une fonction est -intégrable sur si et seulement si la fonction est -intégrable sur . Dans ce cas

Mais avec ce théorème je ne vois pas comment le "corollariser", pour dire que sa marche encore avec par forcément ouvert, mais par exemple compact.

[invite57a1e779]

Tu peux toujours inclure ton domaine d'intégration dans un ouvert et prolonger ta fonction sur en posant sur ...

Ton intégrale sur est alors égale à celle sur , tu fais ton changement de variables sur l'ouvert, et l'intégrale obtenue se restreint immédiatement de à

[invite769a1844]

Tu peux toujours inclure ton domaine d'intégration dans un ouvert et prolonger ta fonction sur en posant sur ...

Ton intégrale sur est alors égale à celle sur , tu fais ton changement de variables sur l'ouvert, et l'intégrale obtenue se restreint immédiatement de à

ok, c'est déjà un peu plus clair, merci God's Breath