Partiel Algébre Linéaire (L1)

[invite2cb68e80]

Bonjour à tous, je sors de mon partiel d'Algébre linéaire et j'ai de trés gros doutes...J'aimerais que vous m'éclairiez svp

Commençons par quelques questions du QCM:

Soit S l'ensemble des solutions d'un systémes linéaires à 4 équations et 6 inconnues. Que peut-on dire de S?

a-S peut etre vide
b-S est nécéssairement infini
c-S peut ne contenir qu'un seul élément
d-S contient au moins deux éléments

J'ai répondu b car il me semble qu'on obtient une paramétrisation du résultats en fonction de variables libres (?) puisque l'on a moins d'équations que d'inconnues mais j'en suis pas sur...

Laquelle de ces fonctions est linéaire?
a-f(x,y)= (2x+y,1-x,-y)
b-f(x,y)=(cos x, x-y, y)
c-f(x,y)=(xy, x+y, z)
d-f(x,y)=(3x-y, y-7x, y)

Pour que ce soit linéiare il faut que f(u+v)=f(u)+f(v) et que f(ku)=kf(u)
D'où réponse d (j'espére ^^)

Et ensuite vient l'exo...

Donner la dimension de l'ensemble E solution du systéme liéaire homogéne:

Alors c'est là que je suis sensé avoir faux... j'ai toruvé

D'où dim(E)=1

Soit F=Vect{u,v,w} avec u=(-2,1,1,1) , v=(0,3,1,-1) , w=(-6,9,5,1). Donner dim(F)

J'ai trouvé que w=3u+2v, d'où F=Vect{u,v}, (u,v) étant libre, c'est donc une base de F, d'où dim(F)=2 (?)

Le probléme c'est qu'à un moment on doit prouver que E=F.... Or chez moi ....-_-"

J'aimerais vraiment ne pas m'être trompé qur quelque chose d'aussi simple...
Merci de votre aide
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[invitec053041c]

Salut.

Pour la question 1, que penses-tu des sollutions du système:

x+y+z+t+m+n=0
x+y+z+t+m+n=1
x+y+z+t+m+n=2
x+y+z+t+m+n=3

Pour la 2 je suis d'accord.

Pour la 3, tu remarques qu'il y a déjà au moins 2 équations indépendantes. Pour savoir si les 3 le sont, regarde par exemple le déterminant 3*3 des coefficients de x,y et z (pour savoir s'il y a proportionnalité). S'il est non nul, les 3 équations sont libres, s'il est nul, il faut se pencher de plus près sur les autres coefficients (par exemple le det des coeff de x,y,t) etc...
(à moins que tu voies une relation entre les 3 équations, auquel cas tu aurais exactement 2 équations indépendantes, donc un espace de dimension 4-2=2, mais faut voir).

[invitec053041c]

Bon, je confirme que la 3eme équation est bien combinaison linéaire des 2 premières (suffit d'éliminer le z par comb lin. des 2 premières), tu en déduis donc que tu as 2 équations indépendantes. Je te laisse conclure.

[invite2cb68e80]

A oui je vois.... j'ai du mal recopier d'une matrice à l'autre et je me suis retrouver avec au lieu de


On doit donc avoir

Et donc


Aprés cette démonstration de ma bétise j'ai envie de me pendre ^^

En tout cas merci Ledescat.

[A voir en vidéo sur Futura]