Interpolation

[invite769a1844]

Bonjour,

un point qui m'est pas clair, on nous demande de construire le polynôme d'interpolation de la fonction tel que , , .
Quel est le degré de ?

Le prof nous dit qu'il faut construire un polynôme de degré au plus deux s'annulant en 0 et et dont la dérivée en 0 et vaut 1.

La théorie qu'on a vu nous dit juste qu'il y a un unique polynôme de degré au plus 1 qui interpole f en 0 et en (vu qu'on a que deux points), et j'ai l'impression que le prof considère l'information sur la dérivée de f en 0 comme un troisième point à interpoler, mais je ne vois pas ce qui permet de dire ça, et donc comment il sait qu'il faut construire un polynôme de degré au plus deux.

Merci pour votre aide.
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[invitec5eb4b89]

En voyant le système d'équations que tu décris comme une équation du type Ax=b, on peut se dire que la résoudre en se posant comme contrainte d'avoir une unique solution ou pas du tout (la configuration "une infinité de solution" est exclue), alors il faut avoir le rang de A qui est au plus égal à 3, soit un polynôme de degré au plus 2.

[invite769a1844]

En voyant le système d'équations que tu décris comme une équation du type Ax=b, on peut se dire que la résoudre en se posant comme contrainte d'avoir une unique solution ou pas du tout (la configuration "une infinité de solution" est exclue), alors il faut avoir le rang de A qui est au plus égal à 3, soit un polynôme de degré au plus 2.

merci HigginsVincent, mais je ne vois pas pourquoi la configuration "pas de solution" est privilégiée à la configuration "une infinité de solution".

Ce qu'on veut c'est un polynôme, où est le mal d'en avoir une infinité qui répond à nos besoins?

[invitec5eb4b89]

(...) La théorie qu'on a vu nous dit juste qu'il y a un unique polynôme de degré au plus 1 qui interpole f en 0 et en (vu qu'on a que deux points), et j'ai l'impression que le prof considère l'information sur la dérivée de f en 0 comme un troisième point à interpoler, mais je ne vois pas ce qui permet de dire ça, et donc comment il sait qu'il faut construire un polynôme de degré au plus deux.
(...)

Il n'y a aucun mal à ça , j'ai juste cru comprendre que tu recherchais une solution unique ! Ceci dit, d'un point de vue purement pratique, on est quand même bien embêtés avec une infinité de polynômes de degré 3, par exemple, qui respectent les contraintes en 0 et en pi... Surtout si le but c'est d'interpoler.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

merci HigginsVincent, mais je ne vois pas pourquoi la configuration "pas de solution" est privilégiée à la configuration "une infinité de solution".

Ce qu'on veut c'est un polynôme, où est le mal d'en avoir une infinité qui répond à nos besoins?

Pour être plus précis que HigginsVincent :
Tu disposes de trois formes linéaires sur :
, et
et tu considères l'application linéaire définie de dans par [tex]A(P) = \big(\phi_1(P), \phi_2(P), \phi_3(P)\big)[\tex].
Ce qui importe, c'est le rang de , c'est-à-dire le rang de la famille , pas la façon dont les sont définies. L'interpolation classique avec n'utilise que le fait que les formes sont indépendantes.
C'est encore le cas dans ton exemple, et est de rang 3.
On se restreint au sous-espace des polynômes de degré au plus 2 parce qu'il est de dimension 3, et qu'ainsi on récupère une restriction de [tex]A[\tex] bijective, donc il y a existence et unicité de la solution.
L'intérêt de l'unicité est pratique : si l'on a une infinité de solutions, il faut décider d'un choix, parce que, pour poursuivre les calculs de façon effective, il nous faut une solution parfaitement connue.

[invite769a1844]

D'accord, merci God's Breath.