Les équivalents

[invite4c8f7e37]

salut. Je cherche à comprendre comment on calcul les équivalents.

Par exemple : trouver l'équivalent de ou

Je ne comprends pas trop la méthode de calcul des équivalents. Merci
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[invite1237a629]

Plop,

Déjà, il faudrait définir l'équivalent en un certain point (0, l'infini...etc)
Dans certains cas, les développements limités peuvent être utiles.
En l'infini, on peut négliger des constantes par rapport à des trucs comme 3^x etc...

[invite4c8f7e37]

pour la première en +infini et la deuxième en 0

Sinon, j'aimerais les calculer sans introduire de développement limité parce que on les a pas vu encore.

[invite57a1e779]

salut. Je cherche à comprendre comment on calcul les équivalents.

Par exemple : trouver l'équivalent de ou

Je ne comprends pas trop la méthode de calcul des équivalents. Merci

L'équivalent, cela va être difficile ; UN équivalent est plus abordable.

Puisque tu veux te passer des développements limités, cela va être difficile.

D'abord, dans la plupart des cas, on peut dire que et sont équivalentes au voisinage de si, et seulement si, leur quotient est de limite 1 en .

Pour un équivalent de au voisinage de , on peut penser à , et il faut donc montrer que est de limite 1 quand tend vers , ce qui n'est pas trop difficile.

Pour un équivalent de au voisinage de , un équivalent est , et il faut donc montrer que est de limite 1 quand tend vers et, sans développements limités, je n'ai pas beaucoup d'idées...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4c8f7e37]

Pour un équivalent de au voisinage de , un équivalent est , et il faut donc montrer que est de limite 1 quand tend vers et, sans développements limités, je n'ai pas beaucoup d'idées...

pour le premier : si on montre que tend vers 1 en plus infini alors est un équivalent ?

pour le deuxième comment on on trouve ?

[invite57a1e779]

pour le premier : si on montre que tend vers 1 en plus infini alors est un équivalent ?

Non, un équivalent au voisinage de de est , parce que tend vers 1 en . Le calcul sur sert à établir le fait que l'équivalent est , mais n'est et ne sera jamais qu'un intermédiaire de calcul.

pour le deuxième comment on on trouve ?

On le trouve par développement limité...
Enfin c'est la méthode la plus simple et la plus rapide, tellement usuelle que l'on sait même plus s'il y a une autre méthode plus compliquée.

[invite35452583]

Si il y a des méthodes simples pour les équivalents, simplement comme avec les DL on les retrouve tous la plupart d'entre nous les ont oublié.
Parmi les utiles :
i) f+g est équivalent en x=a (a réel ou +/-infini) à f si g/f tend vers 0 en x=a (c'est ce qui est utilisé pour le 1er) (Dans une somme on peut virer tous les négligeables)
ii) f1 ~ f2 en x=a et g1~g2 en f1(a)=f2(a) alors g1of1~g2of2 en x=a
iii) f1~f2 et g1~g2 alors f1g1~f2g2
iv) f-f(a)~f'(a)(x-a) si f est dérivable en x=a
Parmi les plus utilisés venant du iv) :
ln(1+h)~h (en 0)
e^x-1~x (en 0)
sin(x)~x (en 0)
tg(x)~x (en 0)

ln(cos(x))
on vire le ln grace à ii) et iv)
Pour ln(cos(x))=ln(1+(cos(x)-1))~cos(x)-1 (en x=0)
Arrivé ici une bonne vieille astuce : on multiplie par (cos(x)+1)/(cos(x)+1) qui joue donc un rôle de forme conjuguée
on obtient -sin²(x)/(cos(x)+1)
cos(x)+1~? (? est un simple réel ici)
sin(x)~?
donc sin²(x)~?
D'où ln(cos(x))~?

[invite4c8f7e37]

ok. Merci pour les indications.

et comment ça marche avec les DL ? (comme ça j'aurais de l'avance sur les autres ^^)

En fait les DL on les a vu très rapidement en physique, donc je sais a peut près comment ça marche. ce qu est chiant c'est de retenir les formules pour cos(x) ou sin(x).....