Similitudes

[inviteba8a49a7]

Bonsoir à tous,

Mon exercice est le suivant :

On considère deux cercles C de centre O et C' de centre O', A un point de C, A' un point de C'.
Soit s l'application affine définie sur le plan vérifiant la propriété :
(P) Pour tout point N de C distinct de A, s(N) = N' tel que N' C' et

1) Montrer que s est une similitude
2 ) En déduire le lieu du milieu [NN'] lorsque N C

1) Par construction, les triangles OAN et O'A'N' sont isocèles respectivement en O et en O'. De plus ils vérifient (P). On en déduit alors que les triangles OAN et O'A'N' sont semblables. Il existe donc une unique similitude f telle que f(O) = O', f(A) = A' et f(N) = N' ...f n'est autre que s...

Je ne sais pas comment le rédiger, dites moi votre sentiment merci
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[invite57a1e779]

Bonsoir à tous,

Mon exercice est le suivant :



1) Par construction, les triangles OAN et O'A'N' sont isocèles respectivement en O et en O'. De plus ils vérifient (P). On en déduit alors que les triangles OAN et O'A'N' sont semblables. Il existe donc une unique similitude f telle que f(O) = O', f(A) = A' et f(N) = N' ...f n'est autre que s...

Je ne sais pas comment le rédiger, dites moi votre sentiment merci

C'est l'idée, mais la rédaction est un peu embrouillée. As-tu vraiment besoin de f(0) = 0', f(A) = A' et f(N) = N' pour définir une similitude ?

[inviteba8a49a7]

C'est l'idée, mais la rédaction est un peu embrouillée. As-tu vraiment besoin de f(0) = 0', f(A) = A' et f(N) = N' pour définir une similitude ?

Bonsoir et d'abord merci de ta participation

Eh bien je ne pense pas non , je connais bien evidemment la definition d'une similitude, elle conserve les rapport de distances.

avec un k un réel positif

N étant défini il faudrait que je prenne un autre point et que j'utilise la définition? Merci

[invite57a1e779]

Bonsoir et d'abord merci de ta participation

Eh bien je ne pense pas non , je connais bien evidemment la definition d'une similitude, elle conserve les rapport de distances.

avec un k un réel positif

N étant défini il faudrait que je prenne un autre point et que j'utilise la définition? Merci

Tu par sur la mauvaise voie.

Quelles sont les similitudes telles que f(O)=O' et f(A)=A' ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteba8a49a7]

Tu par sur la mauvaise voie.

Quelles sont les similitudes telles que f(O)=O' et f(A)=A' ?

Eh bien ce peut-être les similitudes directes ou indirectes..

[invite57a1e779]

Eh bien ce peut-être les similitudes directes ou indirectes..

Je précise mes questions :

Combien y a-t-il de similitudes directes telles que f(O) = O' et f(A) = A' ?
Combien y a-t-il similitudes indirectes telles que f(O) = O' et f(A) = A' ?

[inviteba8a49a7]

Je précise mes questions :

Combien y a-t-il de similitudes directes telles que f(O) = O' et f(A) = A' ?
Combien y a-t-il similitudes indirectes telles que f(O) = O' et f(A) = A' ?

D'après un théorème je sais que si O, O', A, A' sont 4 points du plan tels que O, O' distincts et A, A' distincts, alors il existe une unique similitude f telle que f(O)=O' et f(A) = A'

On a donc une seule similtude directe ou une seule similitude indirecte

[invite57a1e779]

D'après un théorème je sais que si O, O', A, A' sont 4 points du plan tels que O, O' distincts et A, A' distincts, alors il existe une unique similitude f telle que f(O)=O' et f(A) = A'

On a donc une seule similtude directe ou une seule similitude indirecte

Oui, c'est ça.

Y en a-t-il une des deux qui satisfait f(N) = N' pour tout point N du cercle C ?

[inviteba8a49a7]

Oui, c'est ça.

Y en a-t-il une des deux qui satisfait f(N) = N' pour tout point N du cercle C ?

oui c'est la similitude directe

[invite57a1e779]

oui c'est la similitude directe

Tu rédiges donc en justifiant par un théorème qu'il y a unicité de la similitude directe f telle que f(O) = O' et f(A) = A'. Tu démontres que f satisfait la propriété (P).
Tu montres que s=f .
Tu conclus que s est une similitude.

[inviteba8a49a7]

Tu rédiges donc en justifiant par un théorème qu'il y a unicité de la similitude directe f telle que f(O) = O' et f(A) = A'. Tu démontres que f satisfait la propriété (P).
Tu montres que s=f .
Tu conclus que s est une similitude.

Un grand merci à toi God's Breath .Bonne soirée

[inviteba8a49a7]

Bonjour,

Une autre remarque : dans l'énoncé,on ne précise pas que les cercles C et C' sont distincts, et que l'on a O,O' distincts et A,A' distincts. On devrait donc considérer d'autres cas à part non?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Une autre remarque : dans l'énoncé,on ne précise pas que les cercles C et C' sont distincts, et que l'on a O,O' distincts et A,A' distincts. On devrait donc considérer d'autres cas à part non?

Lorsque tu caractérises une similitude, directe ou indirecte, par des propriétés du genre f(M)=M', tu n'as pas besoin d'hypothèses sur le fait que M et M' soient distincts ou non.

Le seul point important pour bien définir tes similitudes, c'est que O et A soient distincts d'une part, O' et A' le soient également d'autre part.
Ce qui suppose donc que les cercles sont de rayon non nul, hypothèse tacite dans l'énoncé, parce qu'en cas de cercles de rayon nuls, les angles entre les vecteurs nuls ne seraient pas définis.

[inviteba8a49a7]

1) Par théorème, il existe une unique similitude directe f telle que f(O) = O' et f(A) = A'.
f vérifie donc avec et .

Soit
f satisfait f(N) = N' avec

De plus,


Puisque f(O) = O' et f(N) = N',
Donc

Par conséquent, f vérifie la propriété (P). On en déduit que f = s.

Conclusion : s est une similitude directe

Dites moi ce que vous pensez de la manière dont c'est rédigé. Merci.

[invite57a1e779]

1) Par théorème, il existe une unique similitude directe f telle que f(O) = O' et f(A) = A'.
f vérifie donc avec et .

Soit
f satisfait f(N) = N' avec

De plus,


Puisque f(O) = O' et f(N) = N',
Donc

Par conséquent, f vérifie la propriété (P). On en déduit que f = s.

Conclusion : s est une similitude directe

Dites moi ce que vous pensez de la manière dont c'est rédigé. Merci.

Un petit truc : jusqu'à "f satisfait la propriété (P)", c'est bon ; s aussi satisfait la propriété (P), et pour conclure que f = s, il faudrait faire appel à un argument d'unicité.

[inviteba8a49a7]

Un petit truc : jusqu'à "f satisfait la propriété (P)", c'est bon ; s aussi satisfait la propriété (P), et pour conclure que f = s, il faudrait faire appel à un argument d'unicité.

Oui il faut alors utiliser le fait que si deux similitudes coïncident en deux points distincts alors elles sont égales?

[inviteba8a49a7]

trois points plutot dsl

[inviteba8a49a7]

Montrons que f = s

Soient P,Q,R trois points distincts du cercle C\{A} et P', Q', R' leurs images par s.

ON sait que la similitude s transforme le cercle C en C'.
En particulier, on a ainsi f(P) = P" où et
D'où P" = P' ie f(P) = P'. De même on vérifie que f(Q) = Q' et f(R) = R'.

F et s coincident donc en trois points non alignés, donc f = s

[invite57a1e779]

Montrons que f = s

Soient P,Q,R trois points distincts du cercle C\{A} et P', Q', R' leurs images par s.

ON sait que la similitude s transforme le cercle C en C'.
En particulier, on a ainsi f(P) = P" où et
D'où P" = P' ie f(P) = P'. De même on vérifie que f(Q) = Q' et f(R) = R'.

F et s coincident donc en trois points non alignés, donc f = s

Oui, sauf qu'il ne faut pas dire que s est une similitude !!!
Officiellement, on ne le saura qu'à la fin de la démonstration...

Il suffit de dire que f et s sont deux applications affines qui coïncident en trois points non alignés, O, A et un autre point du cercle non aligné avec O et A, pour en conclure que f=s.
Attention à cette dernière caractérisation : il suffit de savoir que f et s sont affines.

[inviteba8a49a7]

Oui, sauf qu'il ne faut pas dire que s est une similitude !!!
Officiellement, on ne le saura qu'à la fin de la démonstration...

Il suffit de dire que f et s sont deux applications affines qui coïncident en trois points non alignés, O, A et un autre point du cercle non aligné avec O et A, pour en conclure que f=s.
Attention à cette dernière caractérisation : il suffit de savoir que f et s sont affines.

Oui dsl en fait je voulais dire f et non s, faute de frappe