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Similitudes



  1. #1
    Binouze_Flip

    Question Similitudes


    ------

    Bonsoir à tous,

    Mon exercice est le suivant :

    On considère deux cercles C de centre O et C' de centre O', A un point de C, A' un point de C'.
    Soit s l'application affine définie sur le plan vérifiant la propriété :
    (P) Pour tout point N de C distinct de A, s(N) = N' tel que N' C' et

    1) Montrer que s est une similitude
    2 ) En déduire le lieu du milieu [NN'] lorsque N C
    1) Par construction, les triangles OAN et O'A'N' sont isocèles respectivement en O et en O'. De plus ils vérifient (P). On en déduit alors que les triangles OAN et O'A'N' sont semblables. Il existe donc une unique similitude f telle que f(O) = O', f(A) = A' et f(N) = N' ...f n'est autre que s...

    Je ne sais pas comment le rédiger, dites moi votre sentiment merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par Binouze_Flip Voir le message
    Bonsoir à tous,

    Mon exercice est le suivant :



    1) Par construction, les triangles OAN et O'A'N' sont isocèles respectivement en O et en O'. De plus ils vérifient (P). On en déduit alors que les triangles OAN et O'A'N' sont semblables. Il existe donc une unique similitude f telle que f(O) = O', f(A) = A' et f(N) = N' ...f n'est autre que s...

    Je ne sais pas comment le rédiger, dites moi votre sentiment merci
    C'est l'idée, mais la rédaction est un peu embrouillée. As-tu vraiment besoin de f(0) = 0', f(A) = A' et f(N) = N' pour définir une similitude ?

  4. #3
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    C'est l'idée, mais la rédaction est un peu embrouillée. As-tu vraiment besoin de f(0) = 0', f(A) = A' et f(N) = N' pour définir une similitude ?
    Bonsoir et d'abord merci de ta participation

    Eh bien je ne pense pas non , je connais bien evidemment la definition d'une similitude, elle conserve les rapport de distances.

    avec un k un réel positif

    N étant défini il faudrait que je prenne un autre point et que j'utilise la définition? Merci
    Dernière modification par Binouze_Flip ; 13/01/2008 à 23h26. Motif: je me suis trompé

  5. #4
    God's Breath

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par Binouze_Flip Voir le message
    Bonsoir et d'abord merci de ta participation

    Eh bien je ne pense pas non , je connais bien evidemment la definition d'une similitude, elle conserve les rapport de distances.

    avec un k un réel positif

    N étant défini il faudrait que je prenne un autre point et que j'utilise la définition? Merci
    Tu par sur la mauvaise voie.

    Quelles sont les similitudes telles que f(O)=O' et f(A)=A' ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Tu par sur la mauvaise voie.

    Quelles sont les similitudes telles que f(O)=O' et f(A)=A' ?
    Eh bien ce peut-être les similitudes directes ou indirectes..

  8. #6
    God's Breath

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par Binouze_Flip Voir le message
    Eh bien ce peut-être les similitudes directes ou indirectes..
    Je précise mes questions :

    Combien y a-t-il de similitudes directes telles que f(O) = O' et f(A) = A' ?
    Combien y a-t-il similitudes indirectes telles que f(O) = O' et f(A) = A' ?

  9. Publicité
  10. #7
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Je précise mes questions :

    Combien y a-t-il de similitudes directes telles que f(O) = O' et f(A) = A' ?
    Combien y a-t-il similitudes indirectes telles que f(O) = O' et f(A) = A' ?
    D'après un théorème je sais que si O, O', A, A' sont 4 points du plan tels que O, O' distincts et A, A' distincts, alors il existe une unique similitude f telle que f(O)=O' et f(A) = A'

    On a donc une seule similtude directe ou une seule similitude indirecte

  11. #8
    God's Breath

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par Binouze_Flip Voir le message
    D'après un théorème je sais que si O, O', A, A' sont 4 points du plan tels que O, O' distincts et A, A' distincts, alors il existe une unique similitude f telle que f(O)=O' et f(A) = A'

    On a donc une seule similtude directe ou une seule similitude indirecte
    Oui, c'est ça.

    Y en a-t-il une des deux qui satisfait f(N) = N' pour tout point N du cercle C ?

  12. #9
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Oui, c'est ça.

    Y en a-t-il une des deux qui satisfait f(N) = N' pour tout point N du cercle C ?
    oui c'est la similitude directe

  13. #10
    God's Breath

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par Binouze_Flip Voir le message
    oui c'est la similitude directe
    Tu rédiges donc en justifiant par un théorème qu'il y a unicité de la similitude directe f telle que f(O) = O' et f(A) = A'. Tu démontres que f satisfait la propriété (P).
    Tu montres que s=f .
    Tu conclus que s est une similitude.

  14. #11
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Tu rédiges donc en justifiant par un théorème qu'il y a unicité de la similitude directe f telle que f(O) = O' et f(A) = A'. Tu démontres que f satisfait la propriété (P).
    Tu montres que s=f .
    Tu conclus que s est une similitude.
    Un grand merci à toi God's Breath .Bonne soirée

  15. #12
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    Bonjour,

    Une autre remarque : dans l'énoncé,on ne précise pas que les cercles C et C' sont distincts, et que l'on a O,O' distincts et A,A' distincts. On devrait donc considérer d'autres cas à part non?

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  17. #13
    God's Breath

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par Binouze_Flip Voir le message
    Bonjour,

    Une autre remarque : dans l'énoncé,on ne précise pas que les cercles C et C' sont distincts, et que l'on a O,O' distincts et A,A' distincts. On devrait donc considérer d'autres cas à part non?
    Lorsque tu caractérises une similitude, directe ou indirecte, par des propriétés du genre f(M)=M', tu n'as pas besoin d'hypothèses sur le fait que M et M' soient distincts ou non.

    Le seul point important pour bien définir tes similitudes, c'est que O et A soient distincts d'une part, O' et A' le soient également d'autre part.
    Ce qui suppose donc que les cercles sont de rayon non nul, hypothèse tacite dans l'énoncé, parce qu'en cas de cercles de rayon nuls, les angles entre les vecteurs nuls ne seraient pas définis.

  18. #14
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    1) Par théorème, il existe une unique similitude directe f telle que f(O) = O' et f(A) = A'.
    f vérifie donc avec et .

    Soit
    f satisfait f(N) = N' avec

    De plus,


    Puisque f(O) = O' et f(N) = N',
    Donc

    Par conséquent, f vérifie la propriété (P). On en déduit que f = s.

    Conclusion : s est une similitude directe

    Dites moi ce que vous pensez de la manière dont c'est rédigé. Merci.

  19. #15
    God's Breath

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par Binouze_Flip Voir le message
    1) Par théorème, il existe une unique similitude directe f telle que f(O) = O' et f(A) = A'.
    f vérifie donc avec et .

    Soit
    f satisfait f(N) = N' avec

    De plus,


    Puisque f(O) = O' et f(N) = N',
    Donc

    Par conséquent, f vérifie la propriété (P). On en déduit que f = s.

    Conclusion : s est une similitude directe

    Dites moi ce que vous pensez de la manière dont c'est rédigé. Merci.
    Un petit truc : jusqu'à "f satisfait la propriété (P)", c'est bon ; s aussi satisfait la propriété (P), et pour conclure que f = s, il faudrait faire appel à un argument d'unicité.

  20. #16
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Un petit truc : jusqu'à "f satisfait la propriété (P)", c'est bon ; s aussi satisfait la propriété (P), et pour conclure que f = s, il faudrait faire appel à un argument d'unicité.
    Oui il faut alors utiliser le fait que si deux similitudes coïncident en deux points distincts alors elles sont égales?

  21. #17
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    trois points plutot dsl

  22. #18
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    Montrons que f = s

    Soient P,Q,R trois points distincts du cercle C\{A} et P', Q', R' leurs images par s.

    ON sait que la similitude s transforme le cercle C en C'.
    En particulier, on a ainsi f(P) = P" où et
    D'où P" = P' ie f(P) = P'. De même on vérifie que f(Q) = Q' et f(R) = R'.

    F et s coincident donc en trois points non alignés, donc f = s

  23. Publicité
  24. #19
    God's Breath

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par Binouze_Flip Voir le message
    Montrons que f = s

    Soient P,Q,R trois points distincts du cercle C\{A} et P', Q', R' leurs images par s.

    ON sait que la similitude s transforme le cercle C en C'.
    En particulier, on a ainsi f(P) = P" où et
    D'où P" = P' ie f(P) = P'. De même on vérifie que f(Q) = Q' et f(R) = R'.

    F et s coincident donc en trois points non alignés, donc f = s
    Oui, sauf qu'il ne faut pas dire que s est une similitude !!!
    Officiellement, on ne le saura qu'à la fin de la démonstration...

    Il suffit de dire que f et s sont deux applications affines qui coïncident en trois points non alignés, O, A et un autre point du cercle non aligné avec O et A, pour en conclure que f=s.
    Attention à cette dernière caractérisation : il suffit de savoir que f et s sont affines.

  25. #20
    Binouze_Flip

    Re : similitudes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Oui, sauf qu'il ne faut pas dire que s est une similitude !!!
    Officiellement, on ne le saura qu'à la fin de la démonstration...

    Il suffit de dire que f et s sont deux applications affines qui coïncident en trois points non alignés, O, A et un autre point du cercle non aligné avec O et A, pour en conclure que f=s.
    Attention à cette dernière caractérisation : il suffit de savoir que f et s sont affines.
    Oui dsl en fait je voulais dire f et non s, faute de frappe

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