Bonjour pouvez vous m'aider à déduire la valeur exacte de cos(2pi/5) ds la dernière question
comme solution de l'équation 4x²+2x-1=0 je trouve (-1-racine5)/4 et (-1+racine5)/4
je sais aussi que cos(2pi/5)=0,5(a+abarre)
Mé je n'arive pas à trouver merci pour votre aide
je sais pas trop le demontrer mais c est (racine(5)-1)/4
si ca peut t aider
Le calcul de cos(2<pi>/5) se fait un dans un exercice classique dans l'oral du Bac S, qui utilise simultanémént des connaissances élémentaires sur le second degré, la trigo, les complexes, les suites géométriques.
1) Résoudre z^5=1 dans ¢
2) Montrer que la somme des solutions est nulle.
3) En déduire la valeur de cos (2<pi>/5)
2) Une fois trouvées les 5 solutions, 1 ; e^(2i<pi>/5) ; e^(4i<pi>/5) ; e^(6i<pi>/5) ; e^(8i<pi>/5) , on remarque que ces 5 solutions forment les 5 premiers termes d'une suite géométriques, dont la somme vaudra alors :
S = ( 1 - q^5) ) / (1-q ) avec q = e^(2i<pi>/5)
d'où S = 0 car q^5=1.
3) On utilise maintenant la périodicité trigonométrique pour remplacer
e^(6i<pi>/5) par e^(-4i<pi>/5) , qu'on associera à e^(4i<pi>/5) pour utiliser la formules d’Euler
et e^(8i<pi>/5) par e^(-2i<pi>/5), qu'on associera à e^(2i<pi>/5)
on arrive à
S = 1 + ( e^(2i<pi>/5)+e^(-2i<pi>/5)) + ( e^(4i<pi>/5) + e^(-4i<pi>/5)
S = 1 + 2cos(2<pi>/5) + 2cos(4<pi>/5) = 0
Or, cos2a = 2(cosa)^2 -1 donc cos4<pi>/5 = 2(cos2<pi>/5)^2 - 1
On pose X = cos2<pi>/5
on arrive à
S = 1 + 2X + 2(2X^2 - 1)
d’où l’équation proposée dans l’énoncé, qui a deux solutions, une négative qui ne convient pas, et une positive qui convient.
la résolution de z^7=1 permet avec une même méthode de calculer cos(2<pi>/7) etc...
puisque le cos(pi/2)<cos(pi/5)<cos(0)Envoyé par aiglever
donc 0<cos(pi/5)<1
an ta reponse t a eu de nobr tu prnde celui qui est pluss grand que 0
Je pense que tu réponds un peu tard à sa question (un peu plus de trois ans après ...).
Je dirais même quatre ans.
Euh oui en effet ... On va mettre ça sur le compte de la fatigue.
