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Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x



  1. #1
    ash117

    Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x


    ------

    Bonjour,

    voici mon problème:
    soit f une application de R dans R définie par: f(t)= arctan(t)/t pour t<>0
    f(0)=1

    on me demandait de montrer qu'elle est continue et paire, c'est fait.
    Mais ensuite on me demande de montrer qu'elle est dérivable en 0, mais je n'y arrive pas avec la formule classique.
    Pourriez vous me me mettre sur la voie?

    Merci d'avance!
    ash117

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    D*.

    Re : dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Bonsoir,
    de quelle "formule classique" parles-tu ?

  4. #3
    ash117

    Re : dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    la plus basique :

    lim ( f(a+h)-f(a))/h, h-->0

  5. #4
    D*.

    Re : dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Je ne connais pas du tout ton niveau, mais as-tu vu les developpements limités ?

  6. #5
    ash117

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    pardon, je suis en premier semestre d'école d'ingénieur.
    oui j'ai vu les DL, mais je vois mal en faire un en 0 de cette fonction sans avoir prouver qu'elle était dérivable en 0.

    La dérivée le f n'est pas définie en 0, alors je ne crois pas avoir le droit d'écrire directement f(x) = f(0)+f ' (0)*x +.... avant d'avoir prouver qu'elle est dérivable en 0.

    j'ai peur de dire une bêtise là quand même.


    je pourrais peut être faire le DL de arctan et diviser par x...non?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    D*.

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Ok. On ne peut pas faire de DL en h, h tendant vers 0 ?
    Enfin, je parle de DL mais je n'ai pas essayé, ca me passait simplement par la tête. Mais je chercherais dans cette voie.

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  10. #7
    D*.

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Je viens de vérifier, le DL va tout seul.

    Bon courage.

  11. #8
    ash117

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    oui ça à l'air d'être bon, j'ai juste un probleme de coefficient, rien de grave.

    Merci!

    a ba non, c'était moi le probleme... oublié le factoriel.

  12. #9
    breukin

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Mais si, le DL marche très bien : c'est celui de arctg t qu'il faut faire, que tu divises ensuite par t.

    f(t) = 1 – t2/3 + t4/5 ...

    Sans ça, il n'y a aucune difficulté à faire (f(h)–f(0))/h puisqu'on connait la dérivée de arctg, ou son DL.

    (f(h)–f(0))/h = (f(h)–1)/h = (h.f(h)–h)/h2 = (arctg h – h)/h2

  13. #10
    Ledescat

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Attention en tout cas:

    Si f admet un DL à l'ordre 0 en a , alors cela donne la continuité de f en a.
    Si f admet un DL à l'ordre 1, alors cela donne la dérivabilité de f en a.

    Mais la propriété s'arrête là, car f peut admettre un DL à l'ordre 2 en a sans être doublement dérivable en a.
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    breukin

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Un exemple ?

  15. #12
    Ledescat

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Oh il faut bidouiller avec des horreurs du type x².sin(1/x) mais je ne me souviens plus exactement.
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    Garf

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Oh il faut bidouiller avec des horreurs du type x2.sin(1/x) mais je ne me souviens plus exactement.
    Pas exactement. On prend par exemple la fonction valant x3.sin(1/x2) sur R*, 0 en 0. Elle est continue sur R, dérivable et de dérivée 3x2.sin(1/x2)-2.cos(1/x2) sur R*. On vérifie qu'en 0, elle est dérivable de dérivée 0 (là, il faut repartir de la définition de la dérivée).
    Cependant, la fonction dérivée n'étant pas continue en 0, x3.sin(1/x2) n'a pas de dérivée seconde en 0.
    Pourtant, x3.sin(1/x2) = o(x2) en 0.

    Le problème avec x2.sin(1/x) est qu'elle n'admet pas de DL à l'ordre 2 en 0.

  18. #14
    Ledescat

    Re : Dérivabilité en 0 de arctan(x)/x

    Citation Envoyé par Garf Voir le message
    Pas exactement. On prend par exemple la fonction valant x3.sin(1/x2) sur R*, 0 en 0. Elle est continue sur R, dérivable et de dérivée 3x2.sin(1/x2)-2.cos(1/x2) sur R*. On vérifie qu'en 0, elle est dérivable de dérivée 0 (là, il faut repartir de la définition de la dérivée).
    Cependant, la fonction dérivée n'étant pas continue en 0, x3.sin(1/x2) n'a pas de dérivée seconde en 0.
    Pourtant, x3.sin(1/x2) = o(x2) en 0.

    Le problème avec x2.sin(1/x) est qu'elle n'admet pas de DL à l'ordre 2 en 0.
    Exact, content d'avoir retrouvé cette horreur .
    Cogito ergo sum.

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