Bonjour,
voici mon problème:
soit f une application de R dans R définie par: f(t)= arctan(t)/t pour t<>0
f(0)=1
on me demandait de montrer qu'elle est continue et paire, c'est fait.
Mais ensuite on me demande de montrer qu'elle est dérivable en 0, mais je n'y arrive pas avec la formule classique.
Pourriez vous me me mettre sur la voie?
Merci d'avance!
ash117
Bonsoir,
de quelle "formule classique" parles-tu ?
la plus basique :
lim ( f(a+h)-f(a))/h, h-->0
Je ne connais pas du tout ton niveau, mais as-tu vu les developpements limités ?
pardon, je suis en premier semestre d'école d'ingénieur.
oui j'ai vu les DL, mais je vois mal en faire un en 0 de cette fonction sans avoir prouver qu'elle était dérivable en 0.
La dérivée le f n'est pas définie en 0, alors je ne crois pas avoir le droit d'écrire directement f(x) = f(0)+f ' (0)*x +.... avant d'avoir prouver qu'elle est dérivable en 0.
j'ai peur de dire une bêtise là quand même.
je pourrais peut être faire le DL de arctan et diviser par x...non?
Ok. On ne peut pas faire de DL en h, h tendant vers 0 ?
Enfin, je parle de DL mais je n'ai pas essayé, ca me passait simplement par la tête. Mais je chercherais dans cette voie.
Je viens de vérifier, le DL va tout seul.
Bon courage.
oui ça à l'air d'être bon, j'ai juste un probleme de coefficient, rien de grave.
Merci!
a ba non, c'était moi le probleme... oublié le factoriel.
Mais si, le DL marche très bien : c'est celui de arctg t qu'il faut faire, que tu divises ensuite par t.
f(t) = 1 – t2/3 + t4/5 ...
Sans ça, il n'y a aucune difficulté à faire (f(h)–f(0))/h puisqu'on connait la dérivée de arctg, ou son DL.
(f(h)–f(0))/h = (f(h)–1)/h = (h.f(h)–h)/h2 = (arctg h – h)/h2
Attention en tout cas:
Si f admet un DL à l'ordre 0 en a , alors cela donne la continuité de f en a.
Si f admet un DL à l'ordre 1, alors cela donne la dérivabilité de f en a.
Mais la propriété s'arrête là, car f peut admettre un DL à l'ordre 2 en a sans être doublement dérivable en a.
Un exemple ?
Oh il faut bidouiller avec des horreurs du type x².sin(1/x) mais je ne me souviens plus exactement.
Pas exactement. On prend par exemple la fonction valant x3.sin(1/x2) sur R*, 0 en 0. Elle est continue sur R, dérivable et de dérivée 3x2.sin(1/x2)-2.cos(1/x2) sur R*. On vérifie qu'en 0, elle est dérivable de dérivée 0 (là, il faut repartir de la définition de la dérivée).Envoyé par Ledescat
Cependant, la fonction dérivée n'étant pas continue en 0, x3.sin(1/x2) n'a pas de dérivée seconde en 0.
Pourtant, x3.sin(1/x2) = o(x2) en 0.
Le problème avec x2.sin(1/x) est qu'elle n'admet pas de DL à l'ordre 2 en 0.
Exact, content d'avoir retrouvé cette horreur.
