Bonjour à tous, voici un exercice dont je ne suis pas sûr du tout en ce qui concerne la réponse:
il faut calculer la probabilité pour que, lors d'un tirage de p boules successives sans remise dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, la p-ème boule tirée ait un numéro supérieur ou égal aux numéros des (p-1) premières boules tirées
J'ai trouvé: [somme de k=2 à n de k!/(k*(k-p)!) ] / (n!/(n-p)!)
Pourriez-vous m'expliquer mes erreurs s'il y en a. Merci
Tu tires p boules parmi n, dans un certain ordre, le nombre total d'éventualités est bienEnvoyé par maseru
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Les éventualités favorables : si la dernière boule tirée porte le numéro k, il faut que les p-1 précédentes portent des numéros de 1 à k-1.
Pour que ce soit possible, il faut déjà que
Le nombre des éventualités favorables est donc
Mais POURQUOI DONC de 1 à k-1?
Parce que je n'ai pas lu "ou égal" après "supérieur. Effectivement les p-1 premières boules peuvent prendre la valeur k, d'où des modifications mineures, et la probabilité demandée est en fait :
parce qu'il y avait une erreur dans le dénombrement du tirage de p-1 boules parmi k-1 : n n'avait rien à faire là-dedans...
Non, en fait je crois que ta première intuition était la bonne: les p-1 boules ne peuvent pas prendre la valeur k: si la boule p a le numéro 28, il est impossible que la boule p-1 ait aussi le numéro 28 (pas de remise).
Néanmoins je ne comprend pas pourquoi il y a (k-1)!/ (n-k+1)! éventualités.
On effec tout, et on recommence, sans faute, ni de raisonnement, ni de frappe.
Tu tires p boules parmi n, dans un certain ordre, le nombre total d'éventualités est bien
Les éventualités favorables : si la dernière boule tirée (au p-ième tirage) porte le numéro k, il faut que les p-1 précédentes portent des numéros de 1 à k-1, le numéro k, le plus grand, devant être dans l'urne pour pouvoir sortir au p-ième tirage.
Pour que ce soit possible, il faut déjà que
Le nombre des éventualités favorables est donc
J'ai peur de dire une bêtise, mais la probabilité demandée n'est pas simplement de 1/p ? On a p boules avec des numéros distincts, on en choisit une au hasard (la dernière), c'est bien la probabilité qu'elle porte le plus grand numéro, non ?
Je serais presque d'accord avec Garf puisque dans la première partie de mon exo il ne fallait pas calculer la probabilité pour p boules mais seulement pour deux boules et je trouve une constante (=1/2) pour la probabilité (peut-être que ce résultat est faux).
J'ai tout de même une autre question: pourquoi doit-on sommer de p à n? et pas de 2 à n (k peut en effet prendre la valeur 2, non?)
Le résultat est exact :
donc
Néanmoins, je n'ai toujours pas compris pourquoi il faut sommer de p à n
Parce que je dénombre d'après le numéro de la dernière boule tirée, le plus grand, dont la valeur k est comprise entre p et n.
En fait, j'ai noté A l'événement dont tu cherches la probabilité et X la variable aléatoire qui renvoie le numéro de la dernière boule tirée, donc à valeur dans {1,2,...,n}.
On a alors
Subsiste donc
