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Probabilité



  1. #1
    maseru

    Probabilité


    ------

    Bonjour à tous, voici un exercice dont je ne suis pas sûr du tout en ce qui concerne la réponse:
    il faut calculer la probabilité pour que, lors d'un tirage de p boules successives sans remise dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, la p-ème boule tirée ait un numéro supérieur ou égal aux numéros des (p-1) premières boules tirées

    J'ai trouvé: [somme de k=2 à n de k!/(k*(k-p)!) ] / (n!/(n-p)!)

    Pourriez-vous m'expliquer mes erreurs s'il y en a. Merci

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Probabilité

    Citation Envoyé par maseru Voir le message
    Bonjour à tous, voici un exercice dont je ne suis pas sûr du tout en ce qui concerne la réponse:
    il faut calculer la probabilité pour que, lors d'un tirage de p boules successives sans remise dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, la p-ème boule tirée ait un numéro supérieur ou égal aux numéros des (p-1) premières boules tirées

    J'ai trouvé: [somme de k=2 à n de k!/(k*(k-p)!) ] / (n!/(n-p)!)

    Pourriez-vous m'expliquer mes erreurs s'il y en a. Merci
    Tu tires p boules parmi n, dans un certain ordre, le nombre total d'éventualités est bien .

    Les éventualités favorables : si la dernière boule tirée porte le numéro k, il faut que les p-1 précédentes portent des numéros de 1 à k-1.
    Pour que ce soit possible, il faut déjà que soit , et alors il faut donc avoir tiré les p-1 boules précédentes parmi k-1, d'où éventualités.

    Le nombre des éventualités favorables est donc , d'où la probabilité demandée : .

  3. #3
    maseru

    Re : Probabilité

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    si la dernière boule tirée porte le numéro k, il faut que les p-1 précédentes portent des numéros de 1 à k-1.
    .
    Mais POURQUOI DONC de 1 à k-1?

  4. #4
    God's Breath

    Re : Probabilité

    Citation Envoyé par maseru Voir le message
    Mais POURQUOI DONC de 1 à k-1?
    Parce que je n'ai pas lu "ou égal" après "supérieur. Effectivement les p-1 premières boules peuvent prendre la valeur k, d'où des modifications mineures, et la probabilité demandée est en fait :



    parce qu'il y avait une erreur dans le dénombrement du tirage de p-1 boules parmi k-1 : n n'avait rien à faire là-dedans...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    maseru

    Re : Probabilité

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Effectivement les p-1 premières boules peuvent prendre la valeur k
    Non, en fait je crois que ta première intuition était la bonne: les p-1 boules ne peuvent pas prendre la valeur k: si la boule p a le numéro 28, il est impossible que la boule p-1 ait aussi le numéro 28 (pas de remise).

    Néanmoins je ne comprend pas pourquoi il y a (k-1)!/ (n-k+1)! éventualités.

  7. #6
    God's Breath

    Re : Probabilité

    Citation Envoyé par maseru Voir le message
    Non, en fait je crois que ta première intuition était la bonne: les p-1 boules ne peuvent pas prendre la valeur k: si la boule p a le numéro 28, il est impossible que la boule p-1 ait aussi le numéro 28 (pas de remise).

    Néanmoins je ne comprend pas pourquoi il y a (k-1)!/ (n-k+1)! éventualités.
    On effec tout, et on recommence, sans faute, ni de raisonnement, ni de frappe.

    Tu tires p boules parmi n, dans un certain ordre, le nombre total d'éventualités est bien .

    Les éventualités favorables : si la dernière boule tirée (au p-ième tirage) porte le numéro k, il faut que les p-1 précédentes portent des numéros de 1 à k-1, le numéro k, le plus grand, devant être dans l'urne pour pouvoir sortir au p-ième tirage.

    Pour que ce soit possible, il faut déjà que (plus de numéros possibles que de numéros tirés pendant les p-1 premiers tirages) soit , et alors il faut donc avoir tiré les p-1 premières boules parmi k-1, d'où éventualités.

    Le nombre des éventualités favorables est donc , d'où la probabilité demandée : .

  8. #7
    Garf

    Re : Probabilité

    J'ai peur de dire une bêtise, mais la probabilité demandée n'est pas simplement de 1/p ? On a p boules avec des numéros distincts, on en choisit une au hasard (la dernière), c'est bien la probabilité qu'elle porte le plus grand numéro, non ?

  9. #8
    maseru

    Re : Probabilité

    Je serais presque d'accord avec Garf puisque dans la première partie de mon exo il ne fallait pas calculer la probabilité pour p boules mais seulement pour deux boules et je trouve une constante (=1/2) pour la probabilité (peut-être que ce résultat est faux).

  10. #9
    maseru

    Re : Probabilité

    J'ai tout de même une autre question: pourquoi doit-on sommer de p à n? et pas de 2 à n (k peut en effet prendre la valeur 2, non?)

  11. #10
    God's Breath

    Re : Probabilité

    Citation Envoyé par maseru Voir le message
    Je serais presque d'accord avec Garf puisque dans la première partie de mon exo il ne fallait pas calculer la probabilité pour p boules mais seulement pour deux boules et je trouve une constante (=1/2) pour la probabilité (peut-être que ce résultat est faux).
    Le résultat est exact :

    ,
    donc.

  12. #11
    maseru

    Re : Probabilité

    Néanmoins, je n'ai toujours pas compris pourquoi il faut sommer de p à n

  13. #12
    God's Breath

    Re : Probabilité

    Citation Envoyé par maseru Voir le message
    Néanmoins, je n'ai toujours pas compris pourquoi il faut sommer de p à n
    Parce que je dénombre d'après le numéro de la dernière boule tirée, le plus grand, dont la valeur k est comprise entre p et n.

    En fait, j'ai noté A l'événement dont tu cherches la probabilité et X la variable aléatoire qui renvoie le numéro de la dernière boule tirée, donc à valeur dans {1,2,...,n}.
    On a alors , et pour .
    Subsiste donc ...

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