Equivalent d'une intégrale

[invite09e593f7]

Bonjour à tous!
Me voici confronté à un exercice qui me pose problème. Il s'agit de trouver c dans R tel que
.
Alors la question prémiminaire était d'étudier la suite
. J'ai trouvé que cette suite tend vers e.
Ensuite j'ai essayé le changement de variable
. On a alors
qui sort de l'intégrale.
Il me reste donc ceci :
.
Et a partir d'ici je ne sais plus quoi faire, j'essaye de voir avec une fonction caractéristique mais je n'y arrive pas.
Merci de votre aide!!!!
-----

[invitec053041c]

Bonjour.

Ce ne serait pas plutôt ?

[invite1237a629]

Plop,

Serait-ce ?


Et pour le calcul, je serais partisane de remplacer x par 1+1/t, avec t qui tend vers l'infini (ce qui correspond au domaine que décrit x), mais je ne saurais l'expliquer ~

[invitec053041c]

Et le 8ème jour, Dieu créa les parenthèses .

Merci Mimoimolette !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Ben justement, il a bien fait de ne pas mettre de parenthèses là

[invitec053041c]

Oui mais c'est tellement rare..Bref, il faudrait trouver une justification valable à un passage à la limite un peu abusif :

Genre qui serait notre c..

[God's Breath]

Bonjour à tous!
Me voici confronté à un exercice qui me pose problème. Il s'agit de trouver c dans R tel que
.
Alors la question prémiminaire était d'étudier la suite
. J'ai trouvé que cette suite tend vers e.
Ensuite j'ai essayé le changement de variable
. On a alors
qui sort de l'intégrale.
Il me reste donc ceci :
.
Et a partir d'ici je ne sais plus quoi faire, j'essaye de voir avec une fonction caractéristique mais je n'y arrive pas.
Merci de votre aide!!!!

On remarque que, pour tout non nul, et on définit sur par :
si
si , de telle sorte que :
.

La suite converge simplement sur vers , tout en étant dominée par la constante .

On a alors, par convergence dominée :

[invite1237a629]

Euh...chtite question God's Breath, est-ce qu'il ne faut pas que la fonction dans l'intégrale converge uniformément (et non simplement) pour pouvoir passer la limite dans l'intégrale ?

Et dans la dernière ligne, pourquoi passe-t-on de 1 à 0 ? =)

[invite09e593f7]

Je confirme bien la justesse de l'intégrale, mais le changement de variable que tu dit, si j'ai bien compris tes notations, donnerait une borne sup d'intégration qui dépend encore de n. Je pense en fait que le but de cet exercice est de le résoudre avec le théorème de la convergence dominée.

[God's Breath]

Euh...chtite question God's Breath, est-ce qu'il ne faut pas que la fonction dans l'intégrale converge uniformément (et non simplement) pour pouvoir passer la limite dans l'intégrale ?

J'utilise la convergence dominée, je n'ai pas besoin de convergence uniforme.

Bon, d'accord, c'est un argument massue, mais il m'évite d'avoir à réfléchir.
Par contre la valeur de la constante c, c'est-à-dire de l'intégrale finale, doit être franchement laide si on la calcule explicitement.

[God's Breath]

Et dans la dernière ligne, pourquoi passe-t-on de 1 à 0 ? =)

C'est une faute de frappe.

Toutes les intégrales ont 1 pour borne inférieure.

[invitec053041c]

Par contre la valeur de la constante c, c'est-à-dire de l'intégrale finale, doit être franchement laide si on la calcule explicitement.

Maple confirme .
Sinon dans mon post il fallait lire (1/n)-1 et non son opposé.

[God's Breath]

Oui mais c'est tellement rare..Bref, il faudrait trouver une justification valable à un passage à la limite un peu abusif :

Genre qui serait notre c..

Il semblerait que soit devenu subrepticement pendant que je postais ma réponse, qui reste valable, mutatis mutandis.

On a bien, si la valeur après changement de variable est celle fournie ici, .

[invite1237a629]

Edit : bon...

[invite09e593f7]

Donc si je comprend bien tu as fait un "majoration" de l'intégrale par changement de variable, pour obtenir la borne sup en e?

[God's Breath]

Donc si je comprend bien tu as fait un "majoration" de l'intégrale par changement de variable, pour obtenir la borne sup en e?

En fait, en notant l'intégrale initiale, demander l'existence de tel que revient à demander de montrer que .

Pour calculer cette limite, on voudrait bien intervertir limite et intégrale, mais ici cela ne donne rien.
Le changement de variable sert à transformer l'intégrande en une forme avec une suite qui converge simplement, et à essayer de passer à la limite sous l'intégrale, soit par convergence uniforme sur un intervalle compact, soit par convergence dominée.

Ici le problème semble plus compliqué parce que l'intervalle d'intégration dépend de : ce qu'il faut voir, c'est que l'on peut toujours se placer sur un intervalle indépendant de , en "agrandissant" l'intervalle d'intégration, et en prolongeant par 0 pour ne pas modifier la valeur de l'intégrale.

[invite09e593f7]

Et bien merci pour tes précieuses explications!!! Je n'ai plus qu'à le rédiger!!
Encore merci tcho!