calculer cette suite...

[invite095d3681]

Soit la suite de premier terme U1=1 et définie par:
Un = 1/n
Calculer la somme d'une infinité des premiers termes de cette suite, ce qui veut dire:
calculer: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + .... + 1/n quand n tend vers l'infini.
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[invite9c9b9968]

Bonjour,

Quel est ton souci ? Bonjour et merci tu ne connais pas ? Quelle est ta question ?

[invite7ffe9b6a]

Quelle est la question exacte???

Calculez la somme??

Elle diverge (compare la avec une integrale impropre).

[invite095d3681]

La question est:
Calculer: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ..... + 1/n
Voila je croit que c'est plus clair maintenant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8e971a5]

Bonjour,
Tu doit faire n(u1+Un)/2
n=numéro du rang
u=rangé
C'est une suite géométrique normalement?

[invite1237a629]

Plop,

Romain83 : une suite géométrique est une suite où, pour passer d'un terme au terme suivant, on multiplie par une constante.

Entre 1/n et 1/(n+1), je vois mal où est la constante (qui doit être indépendante de n).

La formule que tu as donnée est celle d'une suite arithmétique (on ajoute une constante à chaque fois).

De toute façon, si on prend l'énoncé premier, avec "une infinité de termes", il n'y a pas de valeur, la série diverge...

[inviteaf1870ed]

Pour ceux qui veulent chercher plus loin :
http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html

[invite095d3681]

De toute façon, si on prend l'énoncé premier, avec "une infinité de termes", il n'y a pas de valeur, la série diverge...

Non, je ne croit pas, la série converge.
Je croit que ça tend vers un réel bien déterminé mais il faut le trouver !
Sinon,tu peut nous demontrer que la série diverge ?

[invite7ffe9b6a]

ha je te certifie que la serie diverge. Montre le par comparaison avec une integrale impropore je le tape dans le poste d'apres

[invite7ffe9b6a]

Alors,

je vais meme montrer plus que ce que tu me demandes.

Les series de Riemans convergent si et seulement si

Preuve: utilisons la comparaison avec l'integrale .

la fonction intégrée est bien décroissante positive, y' a aucun probleme pour utiliser le theroeme de comparaison.



si
si

Si , .

PAr conséquent l'integrale converge que si alpha est strictement plus grand que 1 et diverge si alpha est inferieur ou egale a 1.

Par consequent la serie étant de même nautre converge si et seulement si alpha est strictement plus grand que 1.

donc la serie des 1/n diverge!!!.

(ce n'est qu une comparaison, on obtient pas la limite mais on sait que sa converge ou si sa diverge).

Un exemple de serie qui converge.

[invite9c9b9968]

Je vous montre un truc facile et immédiat pour voir que la série diverge

Supposons ne serait-ce qu'un instant qu'elle converge, vers un réel R.

Je note

Je vais calculer ; puisque j'ai supposé que ma série était convergente, il est évident que la série converge aussi, et vers le même réel R. Donc la différence doit converger vers zéro.

Mais pourtant, j'ai



ie et cela pour tout n : la différence n'a aucune chance de converger vers zéro, et mon hypothèse de convergence de ma série est absurde.

Conclusion : la série diverge bien.

[invite1237a629]

Notons également que ce qu'a utilisé Gwyddon se ramène à cela :

Une série est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.

Si est la somme partielle de la suite incriminée, la série associée converge si et seulement si :



Donc comme ici ne tend pas vers 0 (donc ne vérifie pas la relation précédente), on est bons pour la casse

[invite7ffe9b6a]

heu ce que dit mimoimolette n'est vrai que dans les ensembles complets .

PAr contre une serie convergente est de cauchy est vrai tout le temps.

Un ensemble dans lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet.

R est effectivement complet car toute suite de Cauchy converge dans R.(la démonstration fait appel au theoreme de BolzanoWeierstrass afin d'extraire une sous suite convergente et montrer que la suite converge vers la limite de cette sous suite(appele aussi valeur d adherence))

[invite1237a629]

Moi pas connaître ensemble complet

[invite9c9b9968]

Moi pas connaître ensemble complet

Alalala je suis déçu, tu en as pourtant entendu parler il y a pas si longtemps que ça, je dirais à vue de nez 20 minutes

[invite1237a629]

Oui, mais hors contexte, je ne l'avais pas compris comme ça ! (et puis en entendre parler ne veut pas dire connaître, na!)



Pouf

[invite095d3681]

Alors finalement, quelle est cette limite ? + l'infinie ?
Cette série tend bien vers quelque chose quand n tend vers l'infini, et je ne pense pas que se soit + l'infini. Donc je pense et je repète que ça tend vers un réel.

[invite9c9b9968]

Alors finalement, quelle est cette limite ? + l'infinie ?

Effectivement, cette série diverge.

Cette série tend bien vers quelque chose quand n tend vers l'infini, et je ne pense pas que se soit + l'infini. Donc je pense et je repète que ça tend vers un réel.

Tu peux dire et répéter si tu veux

Nous on t'a démontré qu'elle ne pouvait pas converger vers un réel, et comme c'est une suite strictement croissante puisque tu ajoutes à chaque étape un réel strictement positif, elle a bien une limite qui est

[invite1237a629]

Alors finalement, quelle est cette limite ? + l'infinie ?
Cette série tend bien vers quelque chose quand n tend vers l'infini, et je ne pense pas que se soit + l'infini. Donc je pense et je repète que ça tend vers un réel.

Ne pas confondre suite et série...

1/n tend bien vers quelque chose de fini, mais cela ne veut pas pour autant dire que sa série converge. D'ailleurs, quand le terme général d'une série tend vers 0 mais que sa série diverge (et il y en a pléthore), on dit que la série diverge grossièrement.

Alors à moins que depuis plus de 100 ans je crois, on se trompe sur la divergence de la série harmonique...démontre-nous le contraire.

[invite095d3681]

La première chose qu'on observe c'est que cette série est très faiblement croissante, comme pour la fonction log, mais est ce qu'elle tend vraiment vers linfini ? la question reste ouverte.

[invite095d3681]

D'ailleurs est ce que la fonction log tend vraiment vers + l'infini quand x tend vers + l'infini ?

[Flyingsquirrel]

La première chose qu'on observe c'est que cette série est très faiblement croissante.

Mais elle est « suffisament croissante » pour que ça diverge : on peut le voir en regroupant des termes consécutifs dont la somme est supérieure à 1/2 par exemple :

1 > 1/2
1/3 + 1/4 > 1/2
1/5 + ... + 1/10 > 1/2
...
1/n + ... + 1/(2n) > 1/2

Comme de tels regroupements sont toujours possibles, on peut conclure sur la divergence.

EDIT : hmm, c'est ce qu'a fait Gwyddon au post #11 ...

[invite7ffe9b6a]

Ne pas confondre suite et série...

1/n tend bien vers quelque chose de fini, mais cela ne veut pas pour autant dire que sa série converge. D'ailleurs, quand le terme général d'une série tend vers 0 mais que sa série diverge (et il y en a pléthore), on dit que la série diverge grossièrement.

Alors à moins que depuis plus de 100 ans je crois, on se trompe sur la divergence de la série harmonique...démontre-nous le contraire.

petite erreur.

C'est lorsque que le terme général d'une serie ne tend pas vers 0, que la série est grossierement divergente.

On a apporté deux preuves possible de la divergence de la série, j'ai proposé celle avec l'integrale impropre. Gwyddon celle par l'absurde

[invite7ffe9b6a]

D'ailleurs est ce que la fonction log tend vraiment vers + l'infini quand x tend vers + l'infini ?

SOit M .

Alors en prenant x>=e^{M+1}.

On a .

quelque soit M fixé dans R, il est possible de trouver un x0 tels que pour tout x>=x0 on a Ln(x)>M.
Autrement dit , la fonction Ln (x) peut prendre des valeurs "plus grande que toute valeur fixé au départ". Autrement dit elle devient aussi grande qu'on veut.

elle tend donc vers +linfini

[invite1237a629]

Costian : tu comptes revisiter les maths ?

Revois les démonstrations d'abord...

Antho07 : vraiment désolée pour les erreurs je ne fais pas toujours attention et ce n'était pas "grossièrement" que je voulais dire ><

[invite75562242]

Je vous montre un truc facile et immédiat pour voir que la série diverge

Supposons ne serait-ce qu'un instant qu'elle converge, vers un réel R.

Je note

Je vais calculer ; puisque j'ai supposé que ma série était convergente, il est évident que la série converge aussi, et vers le même réel R. Donc la différence doit converger vers zéro.

Mais pourtant, j'ai



ie et cela pour tout n : la différence n'a aucune chance de converger vers zéro, et mon hypothèse de convergence de ma série est absurde.

Conclusion : la série diverge bien.

J'ai plutôt l'impression que tu as montré que la série ne converge pas absoluement.
Les opérations sur les sommes ne peuvent se faire que si la série convergent absoluement non ? Sinon on pourra toujours montrer que la série de terme générale converge vers 1, ou -1, etc.

Il s'avère qu'ici ça marche, mais pour d'autres séries ce ne serait pas une démonstration valide non ?

[invite9c9b9968]

J'ai plutôt l'impression que tu as montré que la série ne converge pas absoluement.

Et pour une série à termes positifs tu vois une différence ?

EDIT : euh sinon je n'ai pas prétendu faire une démonstration générale, j'ai fait un truc pour ce cas-là, de toute façon il faut bien faire au cas par cas donc je n'ai pas trop compris ta remarque..

[invite7ffe9b6a]

Costian : tu comptes revisiter les maths ?

Revois les démonstrations d'abord...

Antho07 : vraiment désolée pour les erreurs je ne fais pas toujours attention et ce n'était pas "grossièrement" que je voulais dire ><

oui ct plutot semi-convergente.

Petite erreur d innatention, cela m'arrive aussi tkt pas, quand on tape vite.

J'espere qu'il a été convaincu de la non convergence de cette serie

[invite9c9b9968]

oui ct plutot semi-convergente.

Semi-convergente ça veut dire que la série converge, mais pas absolument il me semble ?

[invite7ffe9b6a]

Semi-convergente ça veut dire que la série converge, mais pas absolument il me semble ?

oui mince j'ai pas relu le message de mimoimolette avant de poster, je l'ai deforme de memoire.

Cette serie est semi-convergente par exemple (et tend vers -Ln2 je crois)e




beacoup de serie alterné sont semi-convergente.