question sur la decomposition de dunford

[invite23745dd9]

bonjour, j'ai mon exam d'algebre demain et je bloque sur un point. J'ai appris a diagonaliser, trigonaliser (je suis en L2).

Voila mon probleme. J'ai une matrice A non diagonalisable dont je veux calculer l'exponentiel. Généralement je vais chercher la décomposition de dunford (enfin c'est ce qu'on a vu). Donc je trigonalise la matrice par un changement de base et j'obtient la matrice T

Pour moi, une fois que la matrice est trigonalisée, il faut prendre D et N tel que DN=ND (D diagonalisable et N nilpotente).
Je prend donc D la matrice diagonale avec les valeurs propres et N le reste tel que T=D+N.

Voila mon probleme, mon prof me dit que pour faire cette décomposition il faut que la matrice T soit diagonale par bloc. Moi je veux bien, mais ca veut dire qu'il faut prendre une base précise pour avoir des blocs? Et si ma matrice n'est pas diagonale par bloc, comment je fais?

ex: A=
( 0 0 1 )
( 0 1 2 )
( 0 0 1 )

Celle-ci ne peut pas se décomposer sous Dunford parce qu'elle n'est pas diagonale par bloc? Et comment je fais si c'est le cas?

Mais : B=
( 0 0 0 )
( 0 1 2 )
( 0 0 1 )

celle ci est decomposable selon dunford. C'est bien ca?

Merci beaucoup pour votre aide parce que la je bloque vraiment la-dessus.

Vico.
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[invite7ffe9b6a]

oui c'est cela.
Mais en faite , tu recherches les valeurs propres et apres tu restreint u aux espaces caracteristique et tu decompose comme ceci:

Par exemple si je note l'espace caracteristique associée à la valeur propre

alors la décomposition de dunford est la suivante:



tu sais que la restriction à de est nilpotent et que est diagonale.

bien sur il faut apres utilser les proprietes des projecteurs spectraux.