Dérivées

[inviteab2b41c6]

Salut,
j'ai une petite question qui peut parraitre relativement simple mais qui ne l'est pas.
Voila je cherche à calculer certaines dérivées.
En réalité j'en ai 4 à calculer dans un exercice, et même si je connais les réponses pour certaines je n'arrive pas à les trouver.
Par exemple j'ai la fonction H définie par
H(x)=0 si x<0 et 1 sinon.

Je connais le résultat mais je suis incapable de le montrer, et surtout je ne comprend pas bien comment ca marche.
J'ai malheureusement manqué le cours à ce sujet et la j'ai du mal.
Si quelque pouvoit juste m'aider à trouver le résultat dans le cadre général ca m'aiderait bien. Meme si théoriquement ceci est à la limite de mon programme d'étude, mais j'aimerai bien comprendre quand même.
Merci bien.
Bonne journée
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[invite980a875f]

Salut,
ben je dirais tout simplement H'(x)=0 pour tout x sauf pour 0 où la dérivée n'est pas définie. Je ne vois pas le problème!

[invite88ef51f0]

Salut,
Ta fonction est assez connue en physique : elle s'appelle "fonction de Heaviside" (ou fonction créneau). Pour un physicien, il n'y a pas de problème, la dérivée d'un créneau, c'est un pic de Dirac (une fonction qui vaut 0 partout sauf en x=0 où elle vaut l'infini, et dont l'intégrale sur R vaut 1 ). Mais pour un matheux, la définition du pic de Dirac comme une fonction est une aberration ne pouvant venir que de physiciens sans scrupules... Et il faut attendre le milieu du XXe siècle et la théorie des distributions pour pouvoir formaliser ça proprement.
Bref, soit tu connais la théorie des distributions et alors la dérivée de H vaut ; soit tu ne connais pas, et alors la dérivée de H vaut 0 partout sauf en x=0 où elle n'est pas définie)

[invite143758ee]

pardon, je ne vais pas vérifier...(j'ai plus le livre).

déf: soit T un distribution, T' est définie par son action sur une fonction d'essai f (pardon de pas préciser): (T',f)=-(T,f').
voilà quand on développe -(T,f')=(delta,f).

ps: une fonction d'essai à la bonne particularité de s'annuler à l'infini,
d'où les définitions.
et je ne connais pas la théorie générale pour d'autres fonctions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite143758ee]

au cas où:

[invite4793db90]

En toute rigueur (i.e sans faire appel à la théorie des distributions - cf. Schwartz), la fonction de Heaviside n'est pas dérivable en 0.

[inviteab2b41c6]

Salut,
en fait il m'est demandé de trouver la dérivée de Radon Nikodym, je ne sais pas si cela a un rapport avec les distributions.
J'ai raté le cours sur l'analyse fonctionnelle (théorème de Radon Nikod`ym, théorème de représentation de Riesz, approche de la théorie des distributions) et en pratique je n'ai pas besoin de ce cours pour mes partiels, mais ca m'interesse malgré tout, et j'aimerai savoir comment on peut dériver ces fonctions.

En fait j'y suis arrivé pour cette fonction de Heaviside, mais je n'y arrive pas pour la fonction x*h(x), ou h est la fonction de heaviside.

Si quelqu'un pouvait m'aiguiller, ce serait super gentil

Merci bien, et bonne soirée.