Petite question sur les ensembles

[invite7ffe9b6a]

Bonsoir,

j'ai g: F---> E injective.


A et B deux parties de F et j'ai



est ce que je peux en déduire que ???

Merci d'avance
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[invite35452583]

Si l'intersection était non vide crois-tu que son image pourrait être vide (g injective ou non) ?

PS : Maintenant, si ta demande est peux-tu en déduire que g(A) inter g(B) est vide alors oui l'injectivité est utile pour affirmer que oui, si c'est non vide y=g(x) avec x dans A et y=g(x') avec x' dans B maintenant tu fais intervenir l'injkectivité pour aboutir à une contradiction.

[invite7ffe9b6a]

oui c 'est exactement ce que je pensais mais je n'en étais pas totalement sur , je ne sais pas pourquoi, un petit manque de confiance par moment certainement.

Merci de la reponse aussi rapide:

et merci pour la propriete en plus qui me rappele effectivement quelque chose (cela fait un petit moment que j n'ai pas touché les ensembles au sens large)

[invite7ffe9b6a]

Autre question:

Est ce qu'on a avec g injectif:

g: F---> E et B une partie de E

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite09e593f7]

Grosso modo on peut dire que c'est bon mais il faut s'assurer que ta fonction aie une réciproque. Donc par exemple si elle est bijective c'est bon.

[invite7ffe9b6a]

ben la fonction n'est pas bijective dans cet exo.

Mais heu je pense que désigne l'image réciproque. Dans le cours que j'ai on peut parlé de l'image réciproque dans tous les cas. De l'application réciproque si l'application est bijective.

Je pense que c'est cela. enfin en tous cas, c comme cela que je l'ai compris

[invite7af75ce8]

l'image réciproque.

Il ne s'agirait pas plutot de la Pré-Image ?

Sinon, je n'ai pas compris pourquoi on était obligé d'utiliser l'injectivité ?

Comment une fonction peut renvoyer un ensemble vide ?

[invite769a1844]

l'image réciproque.

Il ne s'agirait pas plutot de la Pré-Image ?

c'est la même chose.

[inviteedb947f2]

Je ne vois pas le probleme si B appartient bien à l'ensemble image de f (cad que g-1(B) non vide)

[inviteedb947f2]

Cependant apres reflexion, il y a un probleme d'homogénéité, car ce que tu définit comme g-1 est une fonction de F --> P(E) (ensemble des parties de E).
Donc ce n'est pas composable par g.

Sinon, tu ne peut pas définir g-1 comme l'applications reciproque car tu supposerais g bijectif.

Donc il y a a mon sens un petit probleme à la base.

Si tu définit g-1 comme étant L'image reciproque de g, alors il ya un probleme de définition lorsque B n'est pas inclut dans Im(g), ce probleme qui n'existe pas lors de la défnition précédente

[invitebe0cd90e]

Je rappelle que si g est une fonction quelquonque, et B un sous ensemble de l'ensemble d'arrivée de g, alors l'expression g^{-1}(B) a toujours un sens, et designe l'ensemble . DOnc son g^{-1} n'est pas une fonction de E dans P(F), mais la fonction de P(E) dans P(F) trivialement induite par g.

Pour repondre (quand meme !) a la question : si par exemple B est une partie quelconque de E, la dfinition que je donne est valide, mais il est possible que g^-1(B) soit vide. Dans ce cas ton truc ne tient pas. Par contre, si B appartient a Im(g), alors ton egalité est vraie que g soit injective ou pas, puisque dans ce cas tout element de B a un antecedent.

Si par contre g est surjective, alors par definition tout sous ensemble de E est dans l'image de F, donc c'est bon.

[inviteedb947f2]

Je rappelle que si g est une fonction quelquonque, et B un sous ensemble de l'ensemble d'arrivée de g, alors l'expression g^{-1}(B) a toujours un sens, et designe l'ensemble . DOnc son g^{-1} n'est pas une fonction de E dans P(F), mais la fonction de P(E) dans P(F) trivialement induite par g.

g-1 est définit de P(F) dans P(E), puisque elle permet a un sous ensemble de l'espace but de donné l'ensemble de ces antécédent par g.

[invitebe0cd90e]

g-1 est définit de P(F) dans P(E), puisque elle permet a un sous ensemble de l'espace but de donné l'ensemble de ces antécédent par g.

remarque (c'est maladroit je te l'accorde) que dans la question posé, E est l'ensemble d'arrivée.... donc g^-1 est bien definie de P(E) dans P(F)

[invited5b2473a]

Autre question:

Est ce qu'on a avec g injectif:

g: F---> E et B une partie de E

la condition est plutôt g est surjective. Et dans ce cas, l'égalité est vraie.

[inviteedb947f2]

remarque (c'est maladroit je te l'accorde) que dans la question posé, E est l'ensemble d'arrivée.... donc g^-1 est bien definie de P(E) dans P(F)

Oups , à sa maladresse j'ajoute la mienne, mais sur le fond on est d'accord ce qui est le principal

[invite7ffe9b6a]

Bon ben dans ce cas la, je pose integralement la question qui me pose problème.


Soient F et G deux ensembles. On suppose qu'il existe une injection f :E--->F et une injection g:F--->E. (le but de lexo est detablir une bijection entre les 2 ensembles)

On pose et

On pose .

J'ai montré que est non vide, stable par intersection quelconque et que si alors

On pose , , et .

J'ai montré que et que .

Je dois maintenant montrer que . Je n'arrive pas à trouvé l'astuce dans cette question. Au début j avais calculé mais j'avais dit que c'était égal à ce qui est faux.

Merci de votre aide

[invite35452583]

Au début j avais calculé mais j'avais dit que c'était égal à ce qui est faux.

Merci de votre aide

Je suppose que tu veux plutôt dire que tu as voulu calculer ( est vide car l'intersection est vide et ça ne fera rien avancer).
C'est une bonne idée.
(c'est toujours vrai)
g(A')=gof(A)=h(A) par définition de A' et de h.
Reste à justifier ce qui est vrai si g était surjective. Rendons la surjective alors.
On a pour toute application p :X->Y p vue comme application de X dans p(X) est surjective et pour une partie P de Y , en particulier si alors .
Ici, est-ce que B est inclus dans g(F) ? conclusion.

De on en déduit grace à l'injectivité de g que
Et le théorème de Cantor-Berstein est alors montré.

[invite7ffe9b6a]

bon ben en faite j'avais fait le bon calcul et était arrivé au bon résultat.
Il me manqué juste l'argument pour dire que: .

Ce que j'ai fait:



On en tire C'est la que j'avais oublier d'en déduire la surjection de g dans B.

Du coup apres



et donc par injectvité de g,

J'étais pas loin, merci beaucoup pour l'aide.

En effet, il reste que 2 petites questions pour aboutir au résultat final