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Densité des nombres Dyadiques



  1. #1
    Abaddon

    Question Densité des nombres Dyadiques


    ------

    Bonsoir a tous,
    j'ai besoin de votre aide pour comprendre le corigé d'un exercice dont l'ennoncé est le suivant :
    Montrer que l'ensemble des nombres dyadiques (m/(2^n) avec m appartient a Z et n appartient N dsl je connais pas encore le latex).
    Mon prof divise la demonstration en 2 cas :
    soit x,y reels et x<y
    le premier x<0<y. 0 appartient a D (ensemble des dyadiques)
    le deuxieme 0<=x<y
    -si y n'appartient pas a Z alors E(y) appartient a D et x<E(y)<y
    -si y appartient a Z alors d=E(y)-1/(2^No) appartient a D en choisissant No tel que x<E(y)-1/(2^No).
    Voila je comprend pas ce qui est souligné. Pourquoi et comment on trouve ca.
    Merci d'avance pour votre aide.

    -----

  2. #2
    kadomatsu

    Re : Densité des nombres Dyadiques

    Je ne trouve pas cette preuve d'une grande clarté. Pourquoi ne pas utiliser plutôt l'argument suivant : la distance de l'ensemble des réels à l'ensemble des entiers relatifs est de 1/2. Ainsi, la distance de l'ensemble des réels à l'union des (1/2)^k Z, k allant de 0 à n, est de (1/2)^(n+1). Comme l'ensemble des dyadiques est l'union des ensembles (1/2)^k Z pour k entier naturel, on peut fabriquer pour tout réel une suite de dyadiques convergeant vers ce réel, et en particulier on obtient des dyadiques arbitrairement proches de tout réel.

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