Groupes simples

[invite769a1844]

Bonsoir,


dans un des paragraphe du cours consacré aux groupes simples, mon prof lance quelques anecdotes sur la classification des groupes finis simples et cite les groupes simples de type de Lie (sans donner de définition) en disant que l'un de ces groupes est le groupe projectif spécial linéaire pour ,
et aussi parle de 26 groupes sporadiques.

A titre de curiosité, j'aurai voulu savoir ce que c'est que ces bêtes là.

Evidemment j'ai fait un tour sur wiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_type_de_Lie, où je ne trouve pas grand chose de très compréhensible.

L'article dit donc qu'un groupe de type de Lie est un groupe (non nécessairement fini) de points rationnels d'un groupe algébrique linéaire G à valeur dans le corps k.

C'est quoi un groupe algébrique linéaire?

Ensuite pour les groupes sporadiques: http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_sporadique, il n'y a pas vraiment de définition donnée.

Enfin, le groupe spécial linéaire , c'est donc le noyau du morphisme , et est normal dans ,
mais le groupe projectif spécial linéaire je ne vois pas ce que c'est.

Merci pour vos réponses
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[invite769a1844]

si je comprends bien les groupes sporadiques sont définis comme les groupes qui restent dan la classification des groupes finis qui soit ni cyclique, ni alterné, ni classique, ni de type de Lie. Et il n'y aurait que 26 "classes" différentes.

[invite35452583]

Commençons par PSL(n,F_q) :
GL(n,F_q) est le groupe des automorphismes linéaires de F_qⁿ.
SL(n,F_q) est un sous-groupe distingué somme toute évident, le noyau du déterminant ;
Le centre de GL(n,F_q) est le groupe des automorphismes qui commutent avec tous les autres automorphismes, un exercice classique montre que si u et v commutent alors v laisse globalement invariants les espaces propres de u : u(x)=kx=>u(v(x))=v(u(x))=v(kx) =kv(x). En prenant des éléments diagonisables convenables (ce n'est pas très dur) on en déduit qu'un élément est dans le centre ssi préserver toutes les droites càd est une homothétie.
Le quotient par ce centre peut être vu comme l'opération non plus sur les vecteurs de F_qⁿ mais comme une opération sur les droites donc sur l'espace projectif associé (d'où le "P").
On peut prendre le noyau SL(n,F_q) puis quotienter par le centre (qui est l'intersection du centre de SL( , ) et du centre de GL( , ))
ou qutotienter par le centre puis le noyau par le quotient du déterminant PGL(n,F_q)->F_q/F_qⁿ.
On obtient PSL(n,F_q).
Ce sont pour l'essentiel des groupes simples (plusieurs méthodes pour le montrer).

Les sporadiques :
les groupes simples finis se décomposent en :
+) les cycliques d'ordre premier
+) les groupes alternés
+) les groupes de Lie dont PSL(n,F_q), mais aussi les PSU(n,Fq), unitaires les éléments laissent invaraiant une forme du type hermitienne, orthogonal, préserve une forme quadratique, symplctique, préserve...
+) les groupes de Lie tordus ou exceptionnels (un peu plus compliqués mais bâti sur le même modèle)
ces familles sont toutes infinies
et 26 "isolés" (ou hors famille) appelés les sporadiques.
le plus petit est le groupe de Matthieu (cardinal=5040 si mes souvenirs sont bons), le plus grand a un cardinal de l'ordre de 10^50+?.

[invite769a1844]

Commençons par PSL(n,F_q) :
GL(n,F_q) est le groupe des automorphismes linéaires de F_qⁿ.
SL(n,F_q) est un sous-groupe distingué somme toute évident, le noyau du déterminant ;
Le centre de GL(n,F_q) est le groupe des automorphismes qui commutent avec tous les autres automorphismes, un exercice classique montre que si u et v commutent alors v laisse globalement invariants les espaces propres de u : u(x)=kx=>u(v(x))=v(u(x))=v(kx) =kv(x). En prenant des éléments diagonisables convenables (ce n'est pas très dur) on en déduit qu'un élément est dans le centre ssi préserver toutes les droites càd est une homothétie.
Le quotient par ce centre peut être vu comme l'opération non plus sur les vecteurs de F_qⁿ mais comme une opération sur les droites donc sur l'espace projectif associé (d'où le "P").
On peut prendre le noyau SL(n,F_q) puis quotienter par le centre (qui est l'intersection du centre de SL( , ) et du centre de GL( , ))
ou qutotienter par le centre puis le noyau par le quotient du déterminant PGL(n,F_q)->F_q/F_qⁿ.
On obtient PSL(n,F_q).
Ce sont pour l'essentiel des groupes simples (plusieurs méthodes pour le montrer).

Les sporadiques :
les groupes simples finis se décomposent en :
+) les cycliques d'ordre premier
+) les groupes alternés
+) les groupes de Lie dont PSL(n,F_q), mais aussi les PSU(n,Fq), unitaires les éléments laissent invaraiant une forme du type hermitienne, orthogonal, préserve une forme quadratique, symplctique, préserve...
+) les groupes de Lie tordus ou exceptionnels (un peu plus compliqués mais bâti sur le même modèle)
ces familles sont toutes infinies
et 26 "isolés" (ou hors famille) appelés les sporadiques.
le plus petit est le groupe de Matthieu (cardinal=5040 si mes souvenirs sont bons), le plus grand a un cardinal de l'ordre de 10^50+?.

merci homotopie, ça me donne déjà pas mal de pistes.

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