Groupes et espaces vectoriels, c'est quoi ?

[invitebeb55539]

Salut.

En première année du supérieur (après bac) sont définis les concepts de groupes et d'espaces vectoriels et apparemment ils sont considérés comme concepts "phares" de l'algèbre. Toutefois si les définitions ne sont pas compliquées, je ne vois ni en quoi il est pertinent de définir ce genre de concepts, ni pourquoi on choisit de les définir sur ces critères.

N'ayant pas trouvé mon bonheur, je fais appel à vous pour une référence bibliographique ou une petite explication

PS: Les groupes je sais que c'est Evariste Galois qui les a introduit en étudiant les solutions des équations mais je ne trouve pas grand chose de plus.

Merci d'avance pour tout.
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[invitebb921944]

Bonjour !
Pas beaucoup de réponse alors je vais essayer de te donner quelques éléments.
On peut définir une infinité d'ensembles :
l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des nombres pairs, l'ensemble des applications de R->R, l'ensemble des couleurs primaires etc etc etc...
On peut voir que certains de ses ensembles sont naturellement munis de lois de composition interne (c'est à dire que si je prend deux éléments de mon ensemble et que je les compose par cette loi, je retombe sur un élément de mon ensemble).

Par exemple, si je multiplie deux réels (loi multiplicative), j'obtiens un réel, si j'ajoute deux fonctions continues de R->R (loi additive), j'obtiens une fonction de R dans R.
En revanche, si je mélange deux couleurs primaires (loi "mélange"), je n'obtiens pas une couleur primaire, je sors donc de mon ensemble.
La loi "mélange" nest donc pas une loi de composition interne sur l'ensemble des couleurs primaires.

Maintenant, je vois que certaines de ses lois ont un élément neutre (par exemple, si je multiplie n'importe quel réel par 1, j'obtiens le nombre initial).

Enfin, certains de ces ensembles munis de certaines lois vérifient : chaque élément de l'ensemble a un inverse pour cette loi (voir définition d'un inverse).

Evidemment tu vas me dire, pourquoi définit-on un groupe comme devant vérifier toutes ses propriétés ?

C'est juste parce que beaucoup d'ensemble ont des propriétés semblables (ca se voit intuitivement) et c'est surtout parce que ces quelques propriétés permettent d'établir énormément de théorèmes et de propriétés que vérifie un tel ensemble.


Donc par exemple on fait toute la théorie sur les groupes.
Et du moment que tu trouves un ensemble quelconque qui vérifie les propriétés d'un groupe, tu peux en déduire toutes les propriétés inhérentes au groupe pour cet ensemble.
Si tu prends un cube par exemple et que tu te demandes quels sont les transformations qui le laissent invariant, tu te rends compte que ces transformations sont en fait des permutations des sommets du cube, et il est aisé de vérifier que l'ensemble des permutations est un groupe pour la loi "composition".

Donc tu vas pouvoir savoir plein de trucs sur ces transformations JUSTE en ayant remarqué qu'elles forment un groupe...
En gros plutot que d'étudier les propriétés d'un ensemble au cas par cas, on fait une théorie générale.

Sinon un espace vectoriel V (sur un corps K), c'est un ensemble muni d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe (la loi externe se fait sur le corps K).

Ca veut dire que je peux composer deux éléments de V par la loi de composition interne tout en restant dans V et que si je prends un éléments de V, je peux le "multiplier" par un élément de K (K n'est pas dans V, d'où l'appellation loi externe) tout en restant dans V.

Un exemple que tu connais bien :

(R²,+,*) vu comme R espace vectoriel.

Si je prends deux vecteurs u et v de (R²,+,*) (c'est le même genre de vecteurs que tu utilises en math quand tu fais la relation de chasles etc...), alors je peux trouver le vecteur u+v (loi interne) qui est encore un vecteur de (R²,+,*).
Maintenant, je ne peux pas faire u*v car ca n'a aucun sens.
Par contre, tu as du voir qu'on peut multiplier un vecteur par un scalaire.
Ici, le scalaire est un élément du corps, c'est à dire un réel.
Donc si je prends a dans R et u dans (R²,+,*), je peux écrire a*v et j'obtiens encore un vecteur de (R²,+,*).

Je t'ai donné un exemple pour que tu vois "à quoi ça sert".
Un espace vectoriel, c'est juste un espace muni d'une structure qui me permet de "faire des choses" avec ses éléments.

Sinon, on peut généraliser leurs études à R^3 (dimension 3), et même à R^n (dimension n) pour tout n entier naturel.
On étudie même des espaces vectoriels de dimension infinie !
Ca sert entre autre en physique ou on est parfois amené à considérer des espaces de dimensions supérieures à 3.

Voilà voilà...

[invitebeb55539]

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre aussi exhaustivement

[invite6be2c7d9]

J'ajouterai, si tu veux une application très concrête de la théorie des groupes qu'elle s'applique à la résolution du Rubik's cube. C'est une application on ne peut plus pratique, il y a plein de choses sur google si ca t'intéresse

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

J'ajouterai, si tu veux une application très concrête de la théorie des groupes qu'elle s'applique à la résolution du Rubik's cube. C'est une application on ne peut plus pratique, il y a plein de choses sur google si ca t'intéresse

Il me semble qu'on trouve des applications aussi dans les sciences voisines comme la cristollagraphie: http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_...el_de_symétrie

[invite6be2c7d9]

Tout à fait, mais là pour le coup je n'y connais pas grand chose

[invite769a1844]

Bonjour,

on m'a a dit qu'il y avait des applications du groupe symétrique en cryptographie, j'aurai voulu connaître quelques exemples de ces applications.

Merci.

[invitebe0cd90e]

Du groupe symétrique ? pas a ma connaissance, en tout cas. On utilise surtout des groupes cycliques d'ordre un grand nombre premier, ou des groupes associés à des courbes elliptiques...

Par contre, certaines personnes etudient la possibilités de creer des systemes cruypto basés sur les groupes de tresses, qui peuvent etre vus comme des groupes de permutations dans lesquels on garde la "memoire" des transpositions effectués. Contrairements aux groupes symetriques, ils sont infinis sans torsions.

[inviteec31acba]

Bonjour, j'ai peur de faire un petit hors sujet, mais dans le même style je ne vois pas pourquoi on lie le produit vectoriel et la formule "sin (a-b) = sin a cos b + cos a sin b " par exemple comme une application de ce dernier.
Pour moi, ce sont deux choses distinctes, que je comprends, mais distinctes. Qu'ais-je raté ? Et en quoi est-ce une application du produit vectoriel ?

[invitebb921944]

Bonjour Matthieu V.
Ta formule de trigonométrie est fausse.
Sinon où as-tu vu que c'est une application du produit vectoriel ?
Je ne peux pas trop te répondre parce que je ne vois pas en quoi cela intervient là-dedans mais ca ne doit pas etre très compliqué !

[inviteec31acba]

"sin (a-b) = sin a cos b + cos a sin b "

Lire : "sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b" bien entendu. Merci, désolé.

En passant, la question exacte d'où sort mon problème est : "...une application du produit vectoriel : le calcul de sin(a-b) ..."

Je tourne et retourne plusieurs vecteurs, impossible de retomber sur mes pieds !

[invite769a1844]

Du groupe symétrique ? pas a ma connaissance, en tout cas. On utilise surtout des groupes cycliques d'ordre un grand nombre premier, ou des groupes associés à des courbes elliptiques...

Par contre, certaines personnes etudient la possibilités de creer des systemes cruypto basés sur les groupes de tresses, qui peuvent etre vus comme des groupes de permutations dans lesquels on garde la "memoire" des transpositions effectués. Contrairements aux groupes symetriques, ils sont infinis sans torsions.

ok, merci pour ces informations jobhertz, tu as des exemples de groupes associés à des courbes elliptiques, je ne vois pas ce que c'est?

[mariposa]

Du groupe symétrique ? pas a ma connaissance, en tout cas. On utilise surtout des groupes cycliques d'ordre un grand nombre premier, ou des groupes associés à des courbes elliptiques...

Par contre, certaines personnes etudient la possibilités de creer des systemes cruypto basés sur les groupes de tresses, qui peuvent etre vus comme des groupes de permutations dans lesquels on garde la "memoire" des transpositions effectués. Contrairements aux groupes symetriques, ils sont infinis sans torsions.

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Bonjour,

que veux-tu dire par torsions?