Majoration d'une double somme

[inviteae7fd42d]

Bonjour a tous,

je cherche a majorer la somme finie S suivante, a priori par qqch de l'ordre de ln(N):

Apres diverses majorations (par exemple ), j'en arrive a une formule de la sorte:


Ma question concerne cette derniere somme: est-il possible de la majorer par , un peu a la maniere d'une integrale de riemann, mais ici en 2D?
Par ailleurs, si c'est le cas, comment puis je calculer cette integrale? l'integration de 1/|x| me fournit ln|x|, mais quelles valeurs prendre alors pour x? je suis un peu perdu...
Y'a t'il sinon une autre facon de proceder?

J'espere que j'ai pu me faire comprendre, merci par avance pour toute suggestion ou information.

nico
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[invite35452583]

Tu es bien trop timide pour ta majoration et tu as oublié de préciser si tu sommes de -N/2 à N/2 par pas de 1/2 ou par pas de 1.
Tu peux majorer par un multiple de ou par (primitive arctan).

[inviteae7fd42d]

Ma sommation se fait par pas de 1 (N est pair), mais par contre il s'agit en fait d'une double somme (), donc il faut en quelque sorte majorer par une integrale double... Ma question concerne donc ce processus de majoration, peut on proceder en 2D a la maniere d'une integrale de riemann?
exemple: a t-on


Si c'est le cas, mon probleme concerne ensuite la maniere de determiner explicitement cette integrale double, par exemple l'integrale dans suivante:


Merci de toute reponse.

[inviteaf1870ed]

Je ne comprends pas pourquoi tu parles d'une double somme. Pour moi il n'y a qu'une seule somme car un seul indice, k. Par contre comme k varie de -N/2 à N/2, tu peux restreindre aux valeur positives de k, car ta fonction est paire en k.
Peux tu donner l'exemple avec N=3 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae7fd42d]

Je ne comprends pas pourquoi tu parles d'une double somme. Pour moi il n'y a qu'une seule somme car un seul indice, k. Par contre comme k varie de -N/2 à N/2, tu peux restreindre aux valeur positives de k, car ta fonction est paire en k.
Peux tu donner l'exemple avec N=3 ?

Je me suis peut etre mal exprime, l'indice de ma somme k est en fait un double indice (), ma somme pourrait s'ecrire de la facon suivante:


pour N=4 par exemple (N est pair)

[inviteaf1870ed]

Je pense que tu peux simplifier un peu l'écriture de ta somme. Réintègre le terme en -N/2, elle devient symétrique. Tu peux ensuite ne considérer que les valeurs positives de k, et tu n'as plus besoin de faire ces N/2 inélégants.
Ensuite je pense - mais mes souvenirs sont lointains - que tu dois pouvoir majorer par l'intégrale double de 1/1+x²+y² sur le domaine considéré, qui est un carré dans le quadrant supérieur droit.

[invite35452583]

OK, bon tu as si f(x,y)<=g(x,y) alors
Tu peux appliquer ceci à une fonction étagée valant 1+x²+y² sur des petits carrés. En s'y prenant bien tu obtiens une majoration de la forme .
Il ne reste plus qu'à appliquer le théorème de Fubini. Bon les calculs peuvent être simplifiés si tu ne veux qu'une majoration sans recherche de "finesse", à part sur un petit domaine (on augmente alors la 1ère constante pour compenser) 1/(1+x²+y²) est plus petit que 1/x²+1/y² par exemple.

[inviteaf1870ed]

Oui j'aurais dit pareil. Le passage en polaire ne se fait pas aisément à cause du domaine.

[invite35452583]

1/(1+x²+y²) est plus petit que 1/x²+1/y² par exemple.

Il me semble avoir été optimiste.
Non, je pense que la "voie polaire" est meilleure en fait : on ne cherche qu'à majorer il suffit de majorer par la même intégrale prise sur R² (et en divisant par 4). On obtient une majoration du type cste+csteln(1+N²) que l'on peut majorer par quelque chose du type cste +cste.ln(N)

[inviteae7fd42d]

Merci pour vos reponses. Je vais essayer en utilisant le passage en coordonnees polaires. A priori, la majoration par un terme de la forme ln(N) aux cstes additives et multiplicatives pres est correcte..

[inviteae7fd42d]

J'ai effectue l'integration en faisant le passage en coordonnees polaires, en prenant un domaine legerement plus grand mais plus pratique pour faire l'integration ( et ), et j'arrive immediatement et comme je le souhaitais, a une majoration de type C.ln(1+N²), ce que je peux majorer aisement par C'.ln(N).

Merci encore pour votre aide!

[inviteaf1870ed]

Vi, c'est ça