pt pb pr démontrer que 2 suites sont convergentes

[invite03201ae3]

Bonjour j'ai un petit problème dans mon exo de maths, j'ai deux suites Un et Vn définies par Uo=1,Vo=racine de 2,Un+1=racine (UnVn) et Vn+1=(Un+Vn)/2

j'ai réussi à monter que pr tt n>0, on a Un>=1 ,Vn<=racine de 2 et que Un<=Vn, et que la suite Un est croissante et Vn décroissante (pr n appartenant aux entiers naturels)
mais j'arrive pas à montrer que les 2 suites sont convergentes et que leurs limites sont identiques. est ce quelqu'un pourrait me donner au moins un indice???

merci d'avance
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[invite88ef51f0]

Salut,
Tu peux dire que u est majorée par racine(2), et qui dit majorée croissante dit convergente. De même v est minorée (par 1) et décroissante. Ensuite, une fois que tu as dit que leur limite existait, tu passes à la limite dans la définition des suites : si l est la limite de u et l' celle de v, on a l'=(l+l')/2. Et là, c'est gagné !