[Tle S]DM suites convergentes, fractionelles

[invite3eec6642]

Bonjour !

Excusez moi de réclamer votre aide sur un devoir qui (bien qu'il ne soit pas noté), réclame toute mon attention depuis 3 jours.


I_ Factorielle d'un entier naturel

soit n € N, on appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par : n!= 1x2x3x...xn si n>1 et 0!=1

a) calculer 4!, 5! et6!. démontrer que 6!x7!=10!
c'est fait sans problème

b) simplifier (n+1)!/n!
fait également, mais je poste mon calcul car j'n'en suis pas sure à 100% :
(n+1)!/n!
=n!(n+1)!/(n!)²
=(n!)²+1/(n!)²
=n!(1+1)/(n!)² (maintenant que je relis cette ligne me semble bizarre au niveau de la factorisation, non ?)
=1+1/n!
=2/n!

c) démontrer par récurrence que pour tout k €N*, on a : k! >2^k-1
ca bloque :
initialisation : k0=1
1>1 (2^0=1) donc vrai
hérédité : démontrons que si, pour un rang k € N*, k!>2^k-1, alors, au rang suivant, (k+1)!>2^(k+1)-1
supposons k! > 2^k-1
(k+1)! > 2^k+1-1
(k+1)! > 2^k
Je doute que cela suffise, mais j'n'arrive pas à aller plus loin...

d) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le plus petit entier n tel que : n! > 10^7
pas encore fait

II Etude d'une suite

on considère Un définie par :
Un = S(n, k=0)1/k! (c'ets un sigma mais je n'l'ai pas sur mon clavier)

a) calculer U0, U1, U2
No problemo

b) Démontrer que Un strict. croissante
si vous pouvez confirmer mon calcul :
U(n+1)-U(n) = 1/(k+1)! - 1/k!
= k!/(k+1)!(k!) - (k+1)!/(k+1)!(k!)
= k!-k!+1!/(k+1)!(k!)
= 1/(k+1)!(k!)
U(n+1)-U(n) > 0
donc Un croissante.

c) Le but de cette question est de prouver que U est majorée :
(i) démontrer que : Un < 1+ S(n, k=1) 1/2^k-1
J'ai fait mon initialisation, mais impossinle d'aller plus loin que l'hérédité... (J'utilise un raisonnement par récurrence, est-ce bon ?)

Il y a quelques questions encore, mais si vous pouvez m'aider pour ca ce serait déjà beaucoup !
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[invitea3eb043e]

b) simplifier (n+1)!/n!
fait également, mais je poste mon calcul car j'n'en suis pas sure à 100% :
(n+1)!/n!
=n!(n+1)!/(n!)²
=(n!)²+1/(n!)²
=n!(1+1)/(n!)² (maintenant que je relis cette ligne me semble bizarre au niveau de la factorisation, non ?)
=1+1/n!
=2/n!

[

C'est assez original, je dois dire.
As-tu essayé de traiter le cas particulier où n vaut 4 ou 5 ? Tu as calculé les factorielles juste avant.

[invitea8d97425]

Bonsoir,

- Pour Ib), essaye d'exprimer (n+1)! en fonction de n! avant de faire ton calcul... Ca devrait te permettre d'avancer aussi pour Ic).

- Pour IIa), tu as un terme en trop, attention ! Tu as simplement affaire à des sommes, qu'est-ce qui change entre les termes n et n+1 ?

- Pour IIc), il va falloir utiliser une des questions précédentes...

Ca devrait déjà te permettre d'avancer un peu

[invite3eec6642]

Jean-Paul : Pour démontrer, il me semble (euh non je suis sure que ma prof de maths nous le demande) qu'il faut utiliser des données générales.

Ithilian_bzh : la flemme de voir ca ce soir, j'essaierai tes conseils des demain matin.

Votre aide est agréable, merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3eec6642]

Ce que ca a donné :

Ib) : (n+1)!=n!(n+1)
donc (n+1)! / n! = n+1
(ce qui était logique, j'aurais en effet pu essayer avec les valeurs déjà calculer pour avoir une idée du résultat. Je comprends enfin ta réponse Jean-Claude )

Ic) Les questions sont indépedantes, et j'n'ai pu me servir de rien pour avancer. Le problème vient de l'exposant, comment simplifier ?

IIb) Je dois avoir un gros problème.
Je dois montrer que la suite est croissante.
J'ai tenté 2 méthodes qui aboutissent à des suite décroissantes :
U(n+1)-U(n) = 1 / (k+1)! - 1 / k!
= k! / (k+1)!(k!) - (k+1)! / (k+1)!(k!)
= 1 / (k+1)! - (k+1) / (k+1)!
= -k/(k+1)!
U(n+1)-U(n) < 0
donc Un décroissante...

Un+1 - Un = ( 1 / (k+1!) ) / ( 1 / k! )
= ( 1 / (k+1)! ) x ( k! / 1 )
= k! / (k+1)!
=k! / k!(k+1)
=1/k+1
<1 donc décroissante...
(j'ai ajouté des parenthèses dans le second calcul pour plus de clarté, j'devreais chercher un éditeur mathématique)

Alors ? Erreur de calcul manifeste (ca m'arrive bien des fois) ? Raisonnement faux ? Je cherche, mais c'est obscur...

[invitea8d97425]

Bonjour,

Pour Ic), ce que je veux dire, c'est que le plus simple (je pense, j'ai pas fait le détail des calculs ), c'est d'utiliser la relation que tu viens d'établir entre (k+1)! et k! pour réinjecter ton hypothèse d'hérédité. Après, ça devrait marcher...

Pour IIb), ta suite c'est U_n = somme(1/k!) pour K variant de 0 à n si j'ai bien compris ? Si oui, qu'est ce qui change entre 2 termes consécutifs ? Ca devrait t'aider à voir ton erreur de calcul

[invite3eec6642]

J'dois être gourde, parce que disons que, dans le Ic) du premier coté de l'inégalité, ca va encore, mais si je divise par k pour le 2^k-1, j'vois pas ou ca me mène.. Enfin je vais plancher.

Pour le IIc)..
Ce qui change, c'est qu'on le multiplie par n+1... Mais comment j'vais traduire ca par le calcul ?
Bon bon bon, vais réviser physique et anglais et j'm'y remets !

(Question subsidiaire : à votre avis, sachant que je suis dans un lycée assez côté dans ma ville mais moins au niveau national - environ 1200/2200 lycées pour les résultats au bac - et que j'ai eu la prodigieuse chance de tomber sur une classe de tetes comme on n'en voit peu, donc 17 au min dans chaque matiere, suivi de quelques uns qui ont 12 de moyenne... J'peux avoir des chances en prépa si j'remonte à 11 de moyenne ? Oui je sais, c'est pas une entreprise de diagnostique... Je verrais bien ^^)

[invitea8d97425]

Pour le Ic), écris que (k+1)! = (k+1)*k!, et écris une inégalité sur (k+1)! en te servant de ton hypothèse sur k! ...

Pour le IIb), je crois que tu n'as pas vu que l'on parle de somme ! D'un terme de la suite à l'autre, on rajoute quelque chose à cette somme là. On n'a pas seulement un terme en 1/k! pour chaque terme de U_n, on en a une somme (de 0 à n).

Question subsidiaire --> Taboo sur ce forum On ne remplace pas les jurys d'admission.