polynôme merci d'avance

[invitecaf14d79]

Bonjour à tous, j'ai un DM de maths à faire mais je n'arrive pas totalement tous les exercices.
Je sollicite donc votre aide pour certaines petites choses...

1- Pour tout réel x, f(x)=ax²+bx+c avec a, b, c réels et a différent de 0.
On suppose delta > 0, on note x1 et x2 les racines de f.

a) Exprimer la somme S = x1+x2 et le produit P=x1x2 en fonction de a, b, c.
J'ai trouvé S=-2b/2a et P=b²-b-4ac

b)dans le cas où P<0 que peut-on dire du signe de x1 et x2 ?
J'ai mis qu'il était positif mais je ne sais pas justifier.

c)dans le cas où P>0 que peut-on dire du signe de x1 et x2 selon le signe de S?
J4ai mis que le signe ne changeait pas et que x1 et x2 étaient toujours négatifs....je ne sais pas non plus justifier.

2-Dans chaque cas, on pourrait aisément s'assurer que delta > 0 mais on répondra aux questions posées sans utiliser delta.

a)Pour tout réel x, f(x)=3x²+2x-5
- vérifier que 1 est une racine de f.
j'ai donc fais f(1) et je trouve effectivement 0
- en déduire la deuxième racine de f
là je ne sais pas

b)Pour tout réel x, f(x)=-5x²+3x+1
sans calculer les racines de f, déterminer leur signe.
j'ai mis négatif puisque c'est de la forme ax²+bx+c et que a=-5

c)Pour tout réel x, f(x)=x²-6x+7
sans calculer les racines de f, déterminer leur signe
j'ai mis positif puisque a=1

Pour cet exercice je ne suis pas sûre de grand chose. Merci de me rassurer et de m'aider.

1- On se propose de résoudre l'inéquation (E) :
(x+2)/(x+1) > 5x

a) expliquer pourquoi résoudre (E) revient à résoudre l'inéquation (-5x²-4x+2)/(x+1)>0
J'ai réussi en passant le 5x de l'autre côté.

b) étudier le signe de -5x²-4x+2 et le signe de x+1
là je pense que c'est négatf et l'autre est positif, mais je ne suis pas sure....

c) consigner dans un tableau les résultats de la question b) et le signe du quotient (-5x²-4x+2)/(x+1)

d) donner alors l'ensemble des solutions de (E)


Merci beaucoup à ceux qui m'aideront à réaliser ces 2 petits exercice
-----

[invite9565d975]

Salut,

Quelques précisions sur ton exo :

1-b)

b)dans le cas où P<0 que peut-on dire du signe de x1 et x2 ?
J'ai mis qu'il était positif mais je ne sais pas justifier.

En fait, puisque P est négatif, x1 et x2 sont de signe contraire !

2-a) Factorise 3x²+2x-5 par (x-1)... tu trouveras l'autre racine.

2-b) et c) : Attention, ce n'est pas le signe de a qui détermine le signe des racines du polynôme... il s'agit avant tout d'évaluer le discriminant du polynôme...

[invitedebe236f]

la somme est -b/a
le produit est faux donc ce qui suit est faux c est c/a
qu a particulier x²-Sx+p=0 S est la somme des racines p le produit
tres utile dans de nombreux exercice

pour le 2a si t as une racine avec somme ou produit tu trouve la 2 eme

[invitee6d71413]

alors déjà pour la premiere question tu dois trouvé r1r2=c/a et r1+r2=-b/a

car si r1 et r2 sont les deux racines de ton équation on peut alors écrire ax²+bx+c=a(x-r1)(x-r2) puis il suffit didentifié les coefficient du polynome membre à membre en developpant le membre de droite

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

a) Exprimer la somme S = x1+x2 et le produit P=x1x2 en fonction de a, b, c.
J'ai trouvé S=-2b/2a et P=b²-b-4ac

P=c/a, S tu peux simplifier.

Sache désormais que les solutions sont :

(-b+-racine(b^2-4ac))/2a

b)dans le cas où P<0 que peut-on dire du signe de x1 et x2 ?
J'ai mis qu'il était positif mais je ne sais pas justifier.

Si le produit de deux nombres est strictement négatif, c'est que ces deux nombres sont strictement de signes opposés.[J'ose même dire que b est strictement compris entre -racine(delta) et +racine(delta). Mais je n'ai pas vérifié.]

c)dans le cas où P>0 que peut-on dire du signe de x1 et x2 selon le signe de S?
J4ai mis que le signe ne changeait pas et que x1 et x2 étaient toujours négatifs....je ne sais pas non plus justifier.

(tu devines la suite, essaie avec 2 et 3, puis avec -2 et -3)

a)Pour tout réel x, f(x)=3x²+2x-5
- vérifier que 1 est une racine de f.
j'ai donc fais f(1) et je trouve effectivement 0
- en déduire la deuxième racine de f
là je ne sais pas

Factorise au possible ! 3x^2+2x-5=(3x-5)(x-1) ...

b)Pour tout réel x, f(x)=-5x²+3x+1
sans calculer les racines de f, déterminer leur signe.
j'ai mis négatif puisque c'est de la forme ax²+bx+c et que a=-5

ça me semble un peu simpliste car 5x^2-3x-1 aurait les mêmes zéros.

Mais rappelle-toi ce qu'on a vu avant :

S=-b/a P=c/a

Si le produit de deux nombres est strictement négatif, c'est que ces deux nombres sont strictement de signes opposés.

Quand le produit de deux nombres est strictement positif, c'est que ceux-ci sont strictement de même signe.

Quand deux nombres sont strictement de même signe, leur somme aussi.

c)Pour tout réel x, f(x)=x²-6x+7
sans calculer les racines de f, déterminer leur signe
j'ai mis positif puisque a=1

Comme avant !

1- On se propose de résoudre l'inéquation (E) :
(x+2)/(x+1) > 5x

a) expliquer pourquoi résoudre (E) revient à résoudre l'inéquation (-5x²-4x+2)/(x+1)>0
J'ai réussi en passant le 5x de l'autre côté.

Tout simplement.

b) étudier le signe de -5x²-4x+2 et le signe de x+1
là je pense que c'est négatf et l'autre est positif, mais je ne suis pas sure....

Inspire-toi de l'exercice précédent !

c) consigner dans un tableau les résultats de la question b) et le signe du quotient (-5x²-4x+2)/(x+1)

Si tu as une règle, un crayon et réussi le précédent, c'est tout bon !

d) donner alors l'ensemble des solutions de (E)

Une ligne pour x
Une ligne pour 5x
Une ligne pour x+2
Une ligne pour x+1
Une ligne pour 5x(x+2)/(x+1) Les solutions seront celles où f(x)>0.

Shokin