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Primitive de ln(ax+b)



  1. #1
    Gilgamesh
    Modérateur

    Primitive de ln(ax+b)


    ------

    Bonjour tout le monde,

    ceci n'est pas un exercice (scolaire)

    Je cherche à calculer l'équation de la trajectoire d'une arche interstellaire de masse initiale m qui se propulse à poussée cte en éjectant un débit massique q à la vitesse d'éjection u.

    L'accélération est :



    J'integre pour avoir la vitesse :



    Et je veux intégrer une nouvelle fois pour avoir l'abscisse x :





    Et là, je bloc sur la primitive du second terme, de la forme ln(ax+b).

    Vous feriez comment ?

    merci
    a+

    -----
    Parcours Etranges

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  4. #2
    God's Breath

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    Citation Envoyé par Gilgamesh Voir le message
    Et là, je bloc sur la primitive du second terme, de la forme ln(ax+b).

    Vous feriez comment ?
    Il suffit d'intégrer par parties en posant
    et
    d'où et .

  5. #3
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Il suffit d'intégrer par parties en posant
    et
    d'où et .
    merci,

    mais je fais comment avec mon ln(u) ?

    a+
    Parcours Etranges

  6. #4
    alien49

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    Citation Envoyé par Gilgamesh Voir le message
    merci,

    mais je fais comment avec mon ln(u) ?

    a+
    C'est une petite faute de frappe, u=ln(ax+b) (d'ailleurs ca se voit à la tête de la dérivée )

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  8. #5
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    Ah ! c'est plus clair comme ça, merki
    Parcours Etranges

  9. #6
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    Donc j'ai :



    c'est ça ?

    a+
    Parcours Etranges

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  11. #7
    alien49

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    EDIT : oui en fait j'ai rien dit

  12. #8
    stross

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    Oui Gilgamesh.


    Sinon la primitive de ln(ax+b) correspond à : [ ( (ax+b)*ln(ax+b) )/a ] - x

    Vérifie. Mais sinon pour arriver à cela c'est comme la mentionner Gilgamesh

  13. #9
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    ça me donne :



    le 2e terme se simplifie super bien en:


    et on obtient :

    Parcours Etranges

  14. #10
    God's Breath

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    Citation Envoyé par Gilgamesh Voir le message
    ça me donne :



    le 2e terme se simplifie super bien en:


    et on obtient :

    C'est tout à fait exact, et je m'excuse d'avoir oublier le logarithme dans le de mon intégration par parties.
    Je fais beaucoup de fautes de frappes parce que je fais les calculs de tête et je les écrits directement en LaTeX sans brouillon papier.

    Avec les notations de ton problème, cela donne
    , donc
    .
    Et il reste la constante d'intégration à calculer d'après les données initiales.

  15. #11
    stross

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    Voilà c'est bien ça oui. mais n'aurais-tu pas oublié le "u" ???

  16. #12
    God's Breath

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    Citation Envoyé par stross Voir le message
    Voilà c'est bien ça oui. mais n'aurais-tu pas oublié le "u" ???
    Bien évidemment, j'ai encore oublié quelque chose : le facteur dans le deuxième terme.

    Ma devise : "faites ce que je dis, pas ce que je fais."

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  18. #13
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    ma constante d'intégration est telle que x=0 en t=0 et elle est égale à -um.ln(m)/q

    en réarrangeant tout ce beau monde, j'obtiens :

    (roulement de tambour)




    Et ça marcheu \o/

    Mon arche de 20Gt, propulsée par 8 Mt de poussée (soit a=1,59 mm/s² au départ), termine sa période d'accélération en 57,3 ans, à 4500 km/s. Elle a parcouru 0,55 al à la vitesse moyenne de 2138 km/s.

    C'est farpaitement cohérent, je dirais même que c'est juste.


    merci, merci
    Parcours Etranges

  19. #14
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Primitive de ln(ax+b)

    (edit : 20 Gt * 1,82 au départ, avec le carburant )
    Parcours Etranges

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