Problème d'algèbre
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Problème d'algèbre



  1. #1
    invitede6f3928

    Problème d'algèbre


    ------

    Bonsoir,
    je suis en MPSI et j'ai un petit problème dans un exercice d'algèbre.
    Voilà l'énoncé :
    Soit E = R^4. On suppose qu'il existe f un endomorphisme de E, tel que fof= -IdE.
    1) Soit x un vecteur non nul de E
    Montrer que la famille (x , f(x)) est libre.
    2) Soit x un vecteur non nul de E. On note Fx = vect(x , f(x))
    Soit G un sous espace vectoriel de dimension 2, stable par f.
    Montrer que si x appartient à G alors G = Fx

    Pour la question 1) c'est bon, j'ai réussi en écrivant une relation entre les vecteurs etc.... C'est pour la question 2 que j'ai un problème. Pour commencer j'ai écris l'hypothèse, le fait que x appartient à G, ensuite j'ai pensé à la double inclusion pour démontrer l'égalité mais je ne vois pas comment démarrer après.

    Merci d'avance pour votre aide
    Jeremouse1

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Problème d'algèbre

    Citation Envoyé par Jeremouse1 Voir le message
    2) Soit x un vecteur non nul de E. On note Fx = vect(x , f(x))
    Soit G un sous espace vectoriel de dimension 2, stable par f.
    Montrer que si x appartient à G alors G = Fx
    Comment exprimes-tu le fait que G soit stable par f ?

  3. #3
    invitede6f3928

    Re : Problème d'algèbre

    Salut,
    merci déjà de ta réponse, euh que G soit stable par f ,ça veut dire que si je prend un élément qui appartient à G, par exemple ici x ça vaut dire que f(x) appartient toujours à G ?
    Ha oui ok donc si ça c'est bon ça veut dire déjà que Fx est inclus dans G non ?

  4. #4
    invitec053041c

    Re : Problème d'algèbre

    Citation Envoyé par Jeremouse1 Voir le message
    Salut,
    merci déjà de ta réponse, euh que G soit stable par f ,ça veut dire que si je prend un élément qui appartient à G, par exemple ici x ça vaut dire que f(x) appartient toujours à G ?
    Oui, tout à fait .

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitede6f3928

    Re : Problème d'algèbre

    Ok d'accord, mais alors pour démontrer que G est inclus dans Fx je crois montre que x et f(x) qui sont dans G s'écrivent comme une combinaison linèaire, donc comme vect de x et f(x), si c'est ça je ne vois pas comment faire.
    Merci d'avance
    Jeremouse1

  7. #6
    God's Breath

    Re : Problème d'algèbre

    Citation Envoyé par Jeremouse1 Voir le message
    Ok d'accord, mais alors pour démontrer que G est inclus dans Fx je crois montre que x et f(x) qui sont dans G s'écrivent comme une combinaison linèaire, donc comme vect de x et f(x), si c'est ça je ne vois pas comment faire.
    Merci d'avance
    Jeremouse1
    Il y a une hypothèse dont tu ne te sers pas, et qui permet d'éviter le recours à la double inclusion.

  8. #7
    invitede6f3928

    Re : Problème d'algèbre

    Ce serait pas le fait que G est un sous espace de E ? comme Fx est une combinaison linéaire d'éléments de E j'ai pas besoin de faire la double inclusion ?

  9. #8
    God's Breath

    Re : Problème d'algèbre

    Citation Envoyé par Jeremouse1 Voir le message
    Ce serait pas le fait que G est un sous espace de E ? comme Fx est une combinaison linéaire d'éléments de E j'ai pas besoin de faire la double inclusion ?
    Comment est défini G, de façon précise ?

  10. #9
    invitede6f3928

    Re : Problème d'algèbre

    G c'est un sous espace vectoriel de E de dimension 2, mais Fx est aussi un espace vectoriel de dimension 2 ?

  11. #10
    God's Breath

    Re : Problème d'algèbre

    Citation Envoyé par Jeremouse1 Voir le message
    G c'est un sous espace vectoriel de E de dimension 2, mais Fx est aussi un espace vectoriel de dimension 2 ?
    Tout à fait, les deux sous-espaces ont même dimension, donc... ?

  12. #11
    invitede6f3928

    Re : Problème d'algèbre

    Ok je vois comme ils ont la même dimensions ils sont égaux ?

  13. #12
    God's Breath

    Re : Problème d'algèbre

    Citation Envoyé par Jeremouse1 Voir le message
    Ok je vois comme ils ont la même dimensions ils sont égaux ?
    Tu dois avoir un théorème dans ton cours qui dit :
    Si et sont deux espaces vectoriels tels que et , alors .

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