Problème d'algèbre

[invitede6f3928]

Bonsoir,
je suis en MPSI et j'ai un petit problème dans un exercice d'algèbre.
Voilà l'énoncé :
Soit E = R^4. On suppose qu'il existe f un endomorphisme de E, tel que fof= -IdE.
1) Soit x un vecteur non nul de E
Montrer que la famille (x , f(x)) est libre.
2) Soit x un vecteur non nul de E. On note Fx = vect(x , f(x))
Soit G un sous espace vectoriel de dimension 2, stable par f.
Montrer que si x appartient à G alors G = Fx

Pour la question 1) c'est bon, j'ai réussi en écrivant une relation entre les vecteurs etc.... C'est pour la question 2 que j'ai un problème. Pour commencer j'ai écris l'hypothèse, le fait que x appartient à G, ensuite j'ai pensé à la double inclusion pour démontrer l'égalité mais je ne vois pas comment démarrer après.

Merci d'avance pour votre aide
Jeremouse1
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[invite57a1e779]

2) Soit x un vecteur non nul de E. On note Fx = vect(x , f(x))
Soit G un sous espace vectoriel de dimension 2, stable par f.
Montrer que si x appartient à G alors G = Fx

Comment exprimes-tu le fait que G soit stable par f ?

[invitede6f3928]

Salut,
merci déjà de ta réponse, euh que G soit stable par f ,ça veut dire que si je prend un élément qui appartient à G, par exemple ici x ça vaut dire que f(x) appartient toujours à G ?
Ha oui ok donc si ça c'est bon ça veut dire déjà que Fx est inclus dans G non ?

[invitec053041c]

Salut,
merci déjà de ta réponse, euh que G soit stable par f ,ça veut dire que si je prend un élément qui appartient à G, par exemple ici x ça vaut dire que f(x) appartient toujours à G ?

Oui, tout à fait .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitede6f3928]

Ok d'accord, mais alors pour démontrer que G est inclus dans Fx je crois montre que x et f(x) qui sont dans G s'écrivent comme une combinaison linèaire, donc comme vect de x et f(x), si c'est ça je ne vois pas comment faire.
Merci d'avance
Jeremouse1

[invite57a1e779]

Ok d'accord, mais alors pour démontrer que G est inclus dans Fx je crois montre que x et f(x) qui sont dans G s'écrivent comme une combinaison linèaire, donc comme vect de x et f(x), si c'est ça je ne vois pas comment faire.
Merci d'avance
Jeremouse1

Il y a une hypothèse dont tu ne te sers pas, et qui permet d'éviter le recours à la double inclusion.

[invitede6f3928]

Ce serait pas le fait que G est un sous espace de E ? comme Fx est une combinaison linéaire d'éléments de E j'ai pas besoin de faire la double inclusion ?

[invite57a1e779]

Ce serait pas le fait que G est un sous espace de E ? comme Fx est une combinaison linéaire d'éléments de E j'ai pas besoin de faire la double inclusion ?

Comment est défini G, de façon précise ?

[invitede6f3928]

G c'est un sous espace vectoriel de E de dimension 2, mais Fx est aussi un espace vectoriel de dimension 2 ?

[invite57a1e779]

G c'est un sous espace vectoriel de E de dimension 2, mais Fx est aussi un espace vectoriel de dimension 2 ?

Tout à fait, les deux sous-espaces ont même dimension, donc... ?

[invitede6f3928]

Ok je vois comme ils ont la même dimensions ils sont égaux ?

[invite57a1e779]

Ok je vois comme ils ont la même dimensions ils sont égaux ?

Tu dois avoir un théorème dans ton cours qui dit :
Si et sont deux espaces vectoriels tels que et , alors .