Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 10 sur 10

Paramétrisation naturelle



  1. #1
    Bruno

    Paramétrisation naturelle


    ------

    Salut,

    Je dois étudier la courbe de Viviani dont voici les équations paramétrique que j'ai pu trouver sur le net :

    x(t) = R.cos² t
    y(t) = R.cos t . sin t
    z(t) = R.sin t


    Pour les dérivées, j'obtiens :

    x'(t) = -2R.cos (t) . sin (t)
    y'(t) = R.(-sin² (t) + cos² (t))
    z'(t) = R.cos (t)


    La norme² de la dérivée vaut donc :

    4R².cos² (t).sin² (t) + R².(-sin² (t) + cos² (t))² + R².cos² (t) =
    R².[4cos².sin² + sin4 + cos4 -2sin².cos² + cos²] =
    R².[2cos².sin² + sin4 + cos4 + cos²] =


    Et en remplaçant tous les sin² par des cos² j'obtient :

    R².[1+cos²]


    Et tout cela ne me fait bien évidemment pas 1.. En prenant la paramétrisation donnée sur cette page, j'obtient (toujours la norme²) :

    a².[1+cos² (t/2) ]

    A moins que je me sois gouré qqpart, dois-je en concluse qu'il n'existe pas de paramétrisation naturelle pour cette courbe (et donc éviter le fastidieux trièdre de Frenet ) ?

    Merci d'avance.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Paramétrisation naturelle

    Il n'y a effectivement pas de paramétrisation de la fenêtre de Viviani par les fonctions élémentaires.

    Manipuler le repère de Serret-Frénet est un bon exercice, et ce n'est pas si difficile que cela.

  4. #3
    Bruno

    Re : Paramétrisation naturelle

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Il n'y a effectivement pas de paramétrisation de la fenêtre de Viviani par les fonctions élémentaires.

    Manipuler le repère de Serret-Frénet est un bon exercice, et ce n'est pas si difficile que cela.
    Ok, mais comment faire ce fichu trièdre alors qu'il faut avoir une param naturelle pour pouvoir en exprimer les 3 vecteurs ? De même, de quelle façon prouver, justifier qu'aucune param naturelle n'existe ?

  5. #4
    God's Breath

    Re : Paramétrisation naturelle

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message
    Ok, mais comment faire ce fichu trièdre alors qu'il faut avoir une param naturelle pour pouvoir en exprimer les 3 vecteurs ? De même, de quelle façon prouver, justifier qu'aucune param naturelle n'existe ?
    Avec la représentation , tu trouves .

    Une abscisse curviligne dans le sens des "" croissants est une primitive de , donnée par une intégrale elliptique. Il faudrait inverser cette intégrle elliptique pour avoir en fonction de , ce qui est impossible avec les fonctions élémentaires usuelles.

    Mais tu peux calculer les dérivées , et de la représentation paramétrique.

    Alors le trièdre de Frenet est donné par :




    La courbure est
    et la torsion .

    Les calculs ne sont pas si difficiles que ça.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bruno

    Re : Paramétrisation naturelle

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Alors le trièdre de Frenet est donné par :.
    Mais ces formules ne sont valables que dans le cas d'une paramétrisation naturelle. Or la paramétrisation donnée ne l'est pas.

  8. #6
    God's Breath

    Re : Paramétrisation naturelle

    Les formules sont valables pour toute représentation paramétrique.

    est un vecteur directeur de la tangente, en le divisant par sa norme, on obtient bien le premier vecteur de Frenet unitaire tangent.

    Une base du plan osculateur est , donc la binormale est dirigée par , que l'on rend unitaire pour obtenir le vecteur de Frenet.

    De même pour la normale principale, mais les formules sont trop enquiquinantes pour que j'en saisisse le détail.

  9. Publicité
  10. #7
    Bruno

    Re : Paramétrisation naturelle

    La base où :

    est un vecteur unitaire de la dérivée
    est un vecteur unitaire de la normale principale
    est un vecteur de la binormale =
    peut être considérée comme une base du trièdre de Frenet SSI la paramétrisation donnée de la courbe est naturelle.

    Moi j'ai ça dans mon cours.. et sic'est pas une param naturelle on ne cherche même pas de trièdre de Frenet.

  11. #8
    God's Breath

    Re : Paramétrisation naturelle

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message
    La base où :

    est un vecteur unitaire de la dérivée
    est un vecteur unitaire de la normale principale
    est un vecteur de la binormale =
    peut être considérée comme une base du trièdre de Frenet SSI la paramétrisation donnée de la courbe est naturelle.

    Moi j'ai ça dans mon cours.. et sic'est pas une param naturelle on ne cherche même pas de trièdre de Frenet.
    C'est bien la première fois en plus de trente ans que je vois ça.
    L'intérêt du trièdre de Frenet, c'est qu'on peut le calculer à partir d'uner représentation quelconque.
    C'est ce que tout le monde fait, parce que les courbes dont on connaît explicitement un représentation par l'abscisse curviligne sont des cas exceptionnels.

  12. #9
    Médiat

    Re : Paramétrisation naturelle

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    C'est bien la première fois en plus de trente ans que je vois ça.
    Plus de 40 dans mon cas .
    A ma connaissance le trièdre de Frenet peut se calculer en tout point birégulier, ce qui est une façon de dire que la binormale n'est pas nulle (condition évidente, me semble-t-il).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    Bruno

    Re : Paramétrisation naturelle

    Salut,

    L'histoire des trois vecteurs c'est pour faciliter dans le cas d'une param naturelle où à partir de la longueur d'arc, on sait exprimer le paramètr t en fonction de s.

    Cependant, dans ce cas-ci, on tombe sur une intégrale à priori impossible à calculer :



    J'ai tenté avec les fonctions hyperboliques :

    poser u = cos t
    -> du = -dt.sin t



    Et là c'est le sin (t) qui me dérange..
    Dernière modification par Bruno ; 19/03/2008 à 15h53.

Discussions similaires

  1. Ventilation Naturelle - Naturelle Assistée
    Par bedouin dans le forum Habitat bioclimatique, isolation et chauffage
    Réponses: 163
    Dernier message: 05/03/2016, 18h28
  2. piscine naturelle
    Par lr2323 dans le forum Habitat bioclimatique, isolation et chauffage
    Réponses: 3
    Dernier message: 27/11/2007, 20h26
  3. Paramétrisation de courbes
    Par VaLie dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 19/01/2007, 22h53
  4. Langage naturelle
    Par ameno dans le forum Logiciel - Software - Open Source
    Réponses: 0
    Dernier message: 28/11/2006, 17h11
  5. Paramétrisation normale d'une courbe
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 06/07/2006, 21h28