Paramétrisation naturelle

[Bruno]

Salut,

Je dois étudier la courbe de Viviani dont voici les équations paramétrique que j'ai pu trouver sur le net :

x(t) = R.cos² t
y(t) = R.cos t . sin t
z(t) = R.sin t

Pour les dérivées, j'obtiens :

x'(t) = -2R.cos (t) . sin (t)
y'(t) = R.(-sin² (t) + cos² (t))
z'(t) = R.cos (t)

La norme² de la dérivée vaut donc :

4R².cos² (t).sin² (t) + R².(-sin² (t) + cos² (t))² + R².cos² (t) =
R².[4cos².sin² + sin⁴ + cos⁴ -2sin².cos² + cos²] =
R².[2cos².sin² + sin⁴ + cos⁴ + cos²] =


Et en remplaçant tous les sin² par des cos² j'obtient :

R².[1+cos²]

Et tout cela ne me fait bien évidemment pas 1.. En prenant la paramétrisation donnée sur cette page, j'obtient (toujours la norme²) :

a².[1+cos² (t/2) ]

A moins que je me sois gouré qqpart, dois-je en concluse qu'il n'existe pas de paramétrisation naturelle pour cette courbe (et donc éviter le fastidieux trièdre de Frenet ) ?

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Il n'y a effectivement pas de paramétrisation de la fenêtre de Viviani par les fonctions élémentaires.

Manipuler le repère de Serret-Frénet est un bon exercice, et ce n'est pas si difficile que cela.

[Bruno]

Il n'y a effectivement pas de paramétrisation de la fenêtre de Viviani par les fonctions élémentaires.

Manipuler le repère de Serret-Frénet est un bon exercice, et ce n'est pas si difficile que cela.

Ok, mais comment faire ce fichu trièdre alors qu'il faut avoir une param naturelle pour pouvoir en exprimer les 3 vecteurs ? De même, de quelle façon prouver, justifier qu'aucune param naturelle n'existe ?

[invite57a1e779]

Ok, mais comment faire ce fichu trièdre alors qu'il faut avoir une param naturelle pour pouvoir en exprimer les 3 vecteurs ? De même, de quelle façon prouver, justifier qu'aucune param naturelle n'existe ?

Avec la représentation , tu trouves .

Une abscisse curviligne dans le sens des "" croissants est une primitive de , donnée par une intégrale elliptique. Il faudrait inverser cette intégrle elliptique pour avoir en fonction de , ce qui est impossible avec les fonctions élémentaires usuelles.

Mais tu peux calculer les dérivées , et de la représentation paramétrique.

Alors le trièdre de Frenet est donné par :




La courbure est
et la torsion .

Les calculs ne sont pas si difficiles que ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno]

Alors le trièdre de Frenet est donné par :.

Mais ces formules ne sont valables que dans le cas d'une paramétrisation naturelle. Or la paramétrisation donnée ne l'est pas.

[invite57a1e779]

Les formules sont valables pour toute représentation paramétrique.

est un vecteur directeur de la tangente, en le divisant par sa norme, on obtient bien le premier vecteur de Frenet unitaire tangent.

Une base du plan osculateur est , donc la binormale est dirigée par , que l'on rend unitaire pour obtenir le vecteur de Frenet.

De même pour la normale principale, mais les formules sont trop enquiquinantes pour que j'en saisisse le détail.

[Bruno]

La base où :

est un vecteur unitaire de la dérivée
est un vecteur unitaire de la normale principale
est un vecteur de la binormale =

peut être considérée comme une base du trièdre de Frenet SSI la paramétrisation donnée de la courbe est naturelle.

Moi j'ai ça dans mon cours.. et sic'est pas une param naturelle on ne cherche même pas de trièdre de Frenet.

[invite57a1e779]

La base où :

est un vecteur unitaire de la dérivée
est un vecteur unitaire de la normale principale
est un vecteur de la binormale =

peut être considérée comme une base du trièdre de Frenet SSI la paramétrisation donnée de la courbe est naturelle.

Moi j'ai ça dans mon cours.. et sic'est pas une param naturelle on ne cherche même pas de trièdre de Frenet.

C'est bien la première fois en plus de trente ans que je vois ça.
L'intérêt du trièdre de Frenet, c'est qu'on peut le calculer à partir d'uner représentation quelconque.
C'est ce que tout le monde fait, parce que les courbes dont on connaît explicitement un représentation par l'abscisse curviligne sont des cas exceptionnels.

[Médiat]

C'est bien la première fois en plus de trente ans que je vois ça.

Plus de 40 dans mon cas .
A ma connaissance le trièdre de Frenet peut se calculer en tout point birégulier, ce qui est une façon de dire que la binormale n'est pas nulle (condition évidente, me semble-t-il).

[Bruno]

Salut,

L'histoire des trois vecteurs c'est pour faciliter dans le cas d'une param naturelle où à partir de la longueur d'arc, on sait exprimer le paramètr t en fonction de s.

Cependant, dans ce cas-ci, on tombe sur une intégrale à priori impossible à calculer :



J'ai tenté avec les fonctions hyperboliques :

poser u = cos t
-> du = -dt.sin t



Et là c'est le sin (t) qui me dérange..