Suite de Cauchy

[invitec13ffb79]

Bonjour,

En posant , , et f une fonction de classe qui va de dans ,

on donne la suite telle que , .

On me demande de montrer que la suite est une suite de Cauchy, et d'en déduire qu'elle converge alors vers tq .

Comment faire svp? Merci d'avance.

P.S.: voici une des choses que j'ai déjà prouvé:

, .
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[invitec13ffb79]

Personne n'a d'idée? Elles seront toutes les bienvenues...!

[invite57a1e779]

Personne n'a d'idée? Elles seront toutes les bienvenues...!

Au vu de la majoration de , on doit pouvoir majorer, pour :
et montrer que la suite est de Cauchy, puis obtenir une propriété de la limite avec la définition récurrente de la suite.

[invitec13ffb79]

Merci de ton indication, mais je ne vois vraiment pas comment montrer qu'elle est de Cauchy..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Pour :

et ce reste de série tend vers 0.

[invitec13ffb79]

En quoi cela montre-t-il que la suite est de Cauchy? Moi, j'ai cette définition:

est de Cauchy si , tq , .

[invite57a1e779]

Pour tout réel strictement positif, il existe un entier tel que puisque la somme tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.

[invitec13ffb79]

Ok... Merci!

Et donc pour la suite de ma question, puisque la suite est de Cauchy, je peux donc en déduire qu'elle converge (théorème). Mais par contre, pour trouver qu'elle converge vers le "fameux" que j'ai indiqué dans le tout premier post, comment faire?

[invitec13ffb79]

Afin de clarifier un petit peu, je reprends, car il y a quelques points qui restent un peu flous:

1) Je comprends bien qu'on a . Par contre, pourquoi a-t-on, ou du moins, comment passe-t-on à l'inégalité ?

2) Comment trouve-t-on que? Perso, j'avais trouvé 0, mais en faisant lim lorsque tend vers l'infini, ce qui, je pense, est totalement faux. En effet, lorsque tend vers l'infini.

3) En admettant le résultat, comment déduire la convergence vers le que j'ai décrit ci-avant?

Merci d'avance.

[invite57a1e779]

Je comprends bien qu'on a . Par contre, pourquoi a-t-on, ou du moins, comment passe-t-on à l'inégalité ?

Parce , donc la série converge en croissant, et sa somme est sa borne supérieure

Comment trouve-t-on que ? Perso, j'avais trouvé 0, mais en faisant lim lorsque tend vers l'infini, ce qui, je pense, est totalement faux. En effet, lorsque tend vers l'infini.[/QUOTE]

On n'a jamais , mais seulement
puisqu'il s'agit d'un reste de série.

En admettant le résultat, comment déduire la convergence vers le que j'ai décrit ci-avant?

Si la suite est de Cauchy, elle est convergente puisque est complet, et sa limite satisfait
si l'on peut justifier le passage à la limite dans la relation de récurrence sur les [terx]x_k[/tex].
On aura donc .

[invitec13ffb79]

Merci de ta réponse God's Breath!

Cependant, peux-tu préciser comment tu obtiens le résultat de ?

Cela me paraît d'autant plus "bizarre" qu'on calcule du coup une somme allant de l'infini à l'infini dans ce cas...! Non?

[invite57a1e779]

Cependant, peux-tu préciser comment tu obtiens le résultat de

Par exemple : pour , on a donc, avec , et, pour, qui tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.

[invitec13ffb79]

Ok...

Cela me paraît d'autant plus "bizarre" qu'on calcule du coup une somme allant de l'infini à l'infini dans ce cas...! Non?

Qu'en penses-tu?

[invitec053041c]

Cela me paraît d'autant plus "bizarre" qu'on calcule du coup une somme allant de l'infini à l'infini dans ce cas...! Non?

Ca peut paraître bizarre, mais ça a en fait tout son sens .

Si existe. Alors l'infini situé sur la borne supérieure de la somme, ne signifie plus "limite", mais il faut considérer la somme dans sa globalité, comme un réel a..

Tu as alors:



Qui est une suite dépendant de N, qui tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini.

[invite57a1e779]

On ne calcule pas une somme allant "de l'infini à l'infini".

On calcule la limite de la suite de terme général . Cette suite est décroissante, convergente, de limite nulle. c'"est tout, et c'est déjà pas mal.

[invitec13ffb79]

Bonsoir,

Si cela ne pose pas d'inconvénients, j'aurais une dernière question qui me gêne. Elle me semble quelque peu similaire aux autres, mais je ne parviens pas au résultat. Il s'agit en fait d'établir qu'on a .

Qu'en penses-tu?

[invitec13ffb79]

Pas d'idée en particulier?