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Suite de Cauchy



  1. #1
    dj_titeuf

    Question Suite de Cauchy


    ------

    Bonjour,

    En posant , , et f une fonction de classe qui va de dans ,

    on donne la suite telle que , .

    On me demande de montrer que la suite est une suite de Cauchy, et d'en déduire qu'elle converge alors vers tq .

    Comment faire svp? Merci d'avance.

    P.S.: voici une des choses que j'ai déjà prouvé:

    , .

    -----
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  2. #2
    dj_titeuf

    Re : Suite de Cauchy

    Personne n'a d'idée? Elles seront toutes les bienvenues...!
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  3. #3
    God's Breath

    Re : Suite de Cauchy

    Citation Envoyé par dj_titeuf Voir le message
    Personne n'a d'idée? Elles seront toutes les bienvenues...!
    Au vu de la majoration de , on doit pouvoir majorer, pour :
    et montrer que la suite est de Cauchy, puis obtenir une propriété de la limite avec la définition récurrente de la suite.

  4. #4
    dj_titeuf

    Re : Suite de Cauchy

    Merci de ton indication, mais je ne vois vraiment pas comment montrer qu'elle est de Cauchy..
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    God's Breath

    Re : Suite de Cauchy

    Pour :

    et ce reste de série tend vers 0.

  7. #6
    dj_titeuf

    Re : Suite de Cauchy

    En quoi cela montre-t-il que la suite est de Cauchy? Moi, j'ai cette définition:

    est de Cauchy si , tq , .
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  8. #7
    God's Breath

    Re : Suite de Cauchy

    Pour tout réel strictement positif, il existe un entier tel que puisque la somme tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.

  9. #8
    dj_titeuf

    Re : Suite de Cauchy

    Ok... Merci!

    Et donc pour la suite de ma question, puisque la suite est de Cauchy, je peux donc en déduire qu'elle converge (théorème). Mais par contre, pour trouver qu'elle converge vers le "fameux" que j'ai indiqué dans le tout premier post, comment faire?
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  10. #9
    dj_titeuf

    Re : Suite de Cauchy

    Afin de clarifier un petit peu, je reprends, car il y a quelques points qui restent un peu flous:

    1) Je comprends bien qu'on a . Par contre, pourquoi a-t-on, ou du moins, comment passe-t-on à l'inégalité ?

    2) Comment trouve-t-on que? Perso, j'avais trouvé 0, mais en faisant lim lorsque tend vers l'infini, ce qui, je pense, est totalement faux. En effet, lorsque tend vers l'infini.

    3) En admettant le résultat, comment déduire la convergence vers le que j'ai décrit ci-avant?

    Merci d'avance.
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  11. #10
    God's Breath

    Re : Suite de Cauchy

    Citation Envoyé par dj_titeuf Voir le message
    Je comprends bien qu'on a . Par contre, pourquoi a-t-on, ou du moins, comment passe-t-on à l'inégalité ?
    Parce , donc la série converge en croissant, et sa somme est sa borne supérieure

    Comment trouve-t-on que ? Perso, j'avais trouvé 0, mais en faisant lim lorsque tend vers l'infini, ce qui, je pense, est totalement faux. En effet, lorsque tend vers l'infini.[/QUOTE]

    On n'a jamais , mais seulement
    puisqu'il s'agit d'un reste de série.

    Citation Envoyé par dj_titeuf Voir le message
    En admettant le résultat, comment déduire la convergence vers le que j'ai décrit ci-avant?
    Si la suite est de Cauchy, elle est convergente puisque est complet, et sa limite satisfait
    si l'on peut justifier le passage à la limite dans la relation de récurrence sur les [terx]x_k[/tex].
    On aura donc .

  12. #11
    dj_titeuf

    Re : Suite de Cauchy

    Merci de ta réponse God's Breath!

    Cependant, peux-tu préciser comment tu obtiens le résultat de ?

    Cela me paraît d'autant plus "bizarre" qu'on calcule du coup une somme allant de l'infini à l'infini dans ce cas...! Non?
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  13. #12
    God's Breath

    Re : Suite de Cauchy

    Citation Envoyé par dj_titeuf Voir le message
    Cependant, peux-tu préciser comment tu obtiens le résultat de
    Par exemple : pour , on a donc, avec , et, pour, qui tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.

  14. #13
    dj_titeuf

    Re : Suite de Cauchy

    Ok...

    Cela me paraît d'autant plus "bizarre" qu'on calcule du coup une somme allant de l'infini à l'infini dans ce cas...! Non?
    Qu'en penses-tu?
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  15. #14
    Ledescat

    Re : Suite de Cauchy

    Citation Envoyé par dj_titeuf Voir le message

    Cela me paraît d'autant plus "bizarre" qu'on calcule du coup une somme allant de l'infini à l'infini dans ce cas...! Non?
    Ca peut paraître bizarre, mais ça a en fait tout son sens .

    Si existe. Alors l'infini situé sur la borne supérieure de la somme, ne signifie plus "limite", mais il faut considérer la somme dans sa globalité, comme un réel a..

    Tu as alors:



    Qui est une suite dépendant de N, qui tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini.
    Cogito ergo sum.

  16. #15
    God's Breath

    Re : Suite de Cauchy

    On ne calcule pas une somme allant "de l'infini à l'infini".

    On calcule la limite de la suite de terme général . Cette suite est décroissante, convergente, de limite nulle. c'"est tout, et c'est déjà pas mal.

  17. #16
    dj_titeuf

    Re : Suite de Cauchy

    Bonsoir,

    Si cela ne pose pas d'inconvénients, j'aurais une dernière question qui me gêne. Elle me semble quelque peu similaire aux autres, mais je ne parviens pas au résultat. Il s'agit en fait d'établir qu'on a .

    Qu'en penses-tu?
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  18. #17
    dj_titeuf

    Re : Suite de Cauchy

    Pas d'idée en particulier?
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

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