Calcul d'une intégale en rapport avec les séries de Fourier

[invite87601bea]

Salut à tous !

Je suis présentement en train de faire un exercice sur les séries de Fourier et je me bute à un problème en apparence fort simple (et qui doit l'être !), mais qui me donne des difficultés, car mes études sur les intégrales remonte à il y a assez longtemps...

Le problème en question :

On suppose que f(t) est une fonction périodique, de période T, qui peut être développée au moyen d'une série de sinus et de cosinus de la forme :

f(t) = a₀ + (a_n cos + b_n cos )

Sachant que m et n sont des entiers positifs, démontrez :

sin dt = 0

Voici ce que j'ai fait : http://img204.imageshack.us/img204/9...tegralefs9.jpg

J'arrive bien à 0, mais j'aimerais savoir si je me suis pris de la bonne manière (ça fait tellement longtemps que j'ai pas fait d'intégrales) et aussi si j'ai des erreurs de notation, par exemple lorsque je pose mon intégrale indéfinie et que je reviens à mon intégrale initiale pour résoudre le problème.

Merci d'avance !
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[invite57a1e779]

Sachant que m et n sont des entiers positifs, démontrez :

sin dt = 0

Voici ce que j'ai fait : http://img204.imageshack.us/img204/9...tegralefs9.jpg

Ton calcul est exact, mais je ne comprends pourquoi il est question de deux entiers m et n, puisque m n'intervient pas.

[invite87601bea]

En effet, c'est tout simplement parce qu'il apparait dans les exercices qui suivent (je n'ai donné que le premier).

Mais sinon, la manière dont je mis suis pris, en considérant 2, Pi, n et T comme des constantes est la bonne méthode ?

Et si je souhaiterais faire cette intégrale d'un seul coup, sans passer par l'intégrale indéfinie (donc en changeant les bornes au cours de l'intégrale, si mes souvenirs sont bons), comment devrais-je m'y prendre ?

Merci d'avance !

[invite57a1e779]

Mais sinon, la manière dont je mis suis pris, en considérant 2, Pi, n et T comme des constantes est la bonne méthode ?

Je vois mal comment il pourrait se faire que 2, ,... ne soient pas des constantes.

Et si je souhaiterais faire cette intégrale d'un seul coup, sans passer par l'intégrale indéfinie (donc en changeant les bornes au cours de l'intégrale, si mes souvenirs sont bons), comment devrais-je m'y prendre ?

Morsque l'on définit la nouvelle variable , on considère l'élément différentiel , mais aussi les bornes :
– la borne inférieure donne ;
– la borne supérieure donne .

D''où le calcul sous la forme :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite87601bea]

Merci beaucoup !

Une seule petite question : à la dernière ligne où tu résout l'intégrale, la deuxième intégrale (avec les nouvelles bornes u = 2*Pi*n et u = 0), tu as un dt, mais à cause du changement de variable, ne devrait-il pas être un du plutôt ?

Merci d'avance !

[invite57a1e779]

Merci beaucoup !

Une seule petite question : à la dernière ligne où tu résout l'intégrale, la deuxième intégrale (avec les nouvelles bornes u = 2*Pi*n et u = 0), tu as un dt, mais à cause du changement de variable, ne devrait-il pas être un du plutôt ?

Merci d'avance !

Bien évidemmment, le "dt" devient un "du" après le changement de variable.