bonjour,
comment démontrer que somme de n=1 à l'infini de (sin(µn))²/µn² tend vers intégrale de 0 à 1 de (sinx/x)² quand µ->0 ??
ça ressemble furieusement à une somme de Riemann sauf que µ->0 au lieu de 1/n tend vers l' infini mais bon...c'est quand même pas tout à fait ça ...
d'avance merci.
Salut.
C'est (µn)² au dénominateur non ?
Ce qui me fait dire que cela ne ressemble pas tant que ça à une somme de Riemann, c'est qu'une somme de Riemann ne peut se mettre sous forme de série.. (il y a un facteur 1/n devant une telle somme, avec n tendant vers l'infini).
non non c'est bien µ* n² au dénominateur ...donc ça fait µ/(µn)², et c'est là que j'ai pensé à la somme de Riemann...car µ -> 0 ...tu me suis ?
Voui, je te suis parfaitement en effet.
La somme de Riemann étant:
(j'imagine que c'est ce que tu as), la tentation est forte de poser µ=1/n et de faire tendre n vers l'infini pour avoir une série... Mais le problème est que k et n sont liés directement. Faut en effet chercher de ce côté.. j'y réfléchis.
Je serais tenté d'écrire ta somme initiale :
Rn est la somme de Riemann, tendant vers l'intégrale voulue lorsque n tend vers l'infini. Il suffirait de montrer que Qn tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, ce qui ne se traîte pas directement en parlant de "reste de série", car on n'a pas affaire à une série justement.
oui voilà tout à fait !!
sauf qu 'en plus ma somme va de 1 à l'infini, alors qu'une somme de riemann va de 1 à n...là ce serait de 1 à 1/µ...
ok merci j'y vois plus clair...mais le Qn je vois vraiment pas comment le faire tendre vers 0...majoration du reste ? je sèche...
quand n tend vers infini 1/n-> 0 et sin(1/n)/(1/n) équivalent à 1 ..?
Ca n'est pa si simple que ça. Ce qu'il y a dans le sin dans Qn ne tend pas vers 0, au contraire, il diverge pour tout n . Donc pas de DL..
Pas évident tout ça.
oui c'est ce que je craignais , c'est pas facile facile...
merci beaucoup quand même ...
Tout d'abord, la fonctionEnvoyé par benjgru
est impaire, si elle a une limite en 0, cette limite est nulle, ce qui n'est pas le cas de la valeur proposée
Ensuite, la fonction
En particulier, pour
Par différence des deux égalités précédentes :
Et ta série a pour somme
La limite quand
ok merci mais j'ai pas tout compris...
quelle fonction f décomposes tu et comment obtiens tu sa série de Fourier ?
et je n'ai pas tres bien compris: quelle est ta conclusion rapport à mon problème proposé ?
Je considère la fonction définie par
J'obtiens sa série de Fourier en calculant les coefficients de Fourier avec la formule usuelle pour une fonction paire :
Je trouve que la limite est
je t' ai vu sur les maths .net
misère y a une erreur d'énoncé !
je risquais pas de trouver...
cf mon post sur les maths.net ...
en fait c'est intégrale de 0 à + l'infini autant pour moi...
en fait pour le coup je crois que la série converge vers l'intégrale car ça ressemble à une intégrale en escaliers dont on ferait tendre le pas vers 0, sauf que là on somme jusqu'à l'infini au lieu de sommer sur un intervalle, et donc on intègre jusqu'à l'infini au lieu d'intégrer sur un segment...
genre "somme de Riemann généralisée" quoi !
mais rigoureusement je sais pas démontrer !
bon alors ça inspire personne mon histoire là ??
Une direction possible :
Je note
et, avec
donc
Une intégration par parties fournit
pas mal ton truc là ...si ça marche, on dirait une somme de Riemann infinie ou je sais pas trop quoi ...
ça se généralise aux fonctions de carré sommable cette égalité ("somme =intégrale") ou c'est juste une "coïncidence " ??
personne ??
