nombres rationnels

[invite095d3681]

salut,
Les nombres rationnels ont tous une écriture décimale illimitée périodique. La demonstration de cette idée est facile, mais la réciproque ?
Démontrez la réciproque.
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[invite986312212]

la réciproque est encore plus facile

[Flyingsquirrel]

Salut

L'idée est d'exprimer le nombre dont l'écriture est périodique en fonction de la période de l'écriture et de l'entier qui se répète dans cette même écriture.

[invitec053041c]

Pour illustrer ce qui a été dit, je te donne un exemple qui se généralise:

Si tu prends a=0.123123123123...

Tu auras 1000a=123+a, donc a=123/999 et est donc rationnel.

Ca se généralise à n'importe quelle période..

(quelqu'un pourrait-il me rafraîchir la mémoire pour le sens direct de la démonstration ?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

(quelqu'un pourrait-il me rafraîchir la mémoire pour le sens direct de la démonstration ?)

Lorsque l'on calcule le développement par division, le nombre de restes possibles est fini, on retrouve quelque part un reste déjà rencontré, et à partir de là, la suite est périodique... (à formaliser)