les rationnels

[invite48a230de]

salut je suis en 2nd et j'ai un gros probleme avk un dm , je n'arrive pas du tout a le demarrer ca me bloque completement si quelqun pourrai maider a le commencer a maiderait bien voila le debut

Supposons que (racine de 2)est rationnel.ON pe dc ecrire (racine de 2)=p/q, fraction irreductible avec p et q appartenant a N.

1.Montrer que p²=2q²

si quelqun pourrai maider a fere celle la ca pourrai me lancer pr la suite :
merci davance
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[invite3c59dc04]

Supposons que (racine de 2)est rationnel.ON pe dc ecrire (racine de 2)=p/q, fraction irreductible avec p et q appartenant a N.

1.Montrer que p²=2q²

Salut,

C'est tout simple, prend le carré de ton expression : (racine de 2)=p/q :
2 = p²/q² et fait une transformation de formule pour avoir p²=2q²

cqdf

[shokin]

Donc ^p est le double de ^q.

Or le double de tout carré d'entier ne peut être carré d'un entier car 2 n'est pas le carré d'un entier (2 étant compris entre deux carrés d'entier consécutifs, 1 et 4).

Donc on a démontré par l'absurde que racine carrée de 2 n'est pas rationnel.



Shokin

[invitec053041c]

Or le double de tout carré d'entier ne peut être carré d'un entier car 2 n'est pas le carré d'un entier

D'après l'équation p²=2q², qu'est-ce qui te fait dire si vite que sqrt(2) serait entier ?

L'une des meilleures preuves est d'utiliser le lemme de Gauss à partir de p²=2q².

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Est-on obligé de passer par le lemme de Gauss ?

Shokin