Sacrés Nombres Premiers!

[A1]

Salut tt le monde!

C'est chaque fois que j'aborde des exercices d'arithmétique que je me lance involontairement des inégalités et équations diverses,mais sans but!
Je voudrais au moins savoir pourquoi la somme/diff. de qqes nombres premiers de 2 à 100 donnent des autres nb. premiers , ceci de façon homogène ,rassurante,mais c'est tjs un contre-exemple qui surgit!

Par exemple, en voici une relation reliant qqes nbs premiers (premiers) : 2p(n)=p(n-2) + p(n+2) tq n>4 et p(k) est le k-ième nb premier.plus loin, y'aure une diff de 2 puis de 6 et puis ...!

Je voudrais aussi bien connaitre l'écriture explicite de La fonction Zeta..

Merci bien.
-----

[shokin]

Alors moi, les nombres premiers, j'y vois aucune prévisibilité... et c'est pas ma tasse de thé.

Le par coeur jusqu'à 101 me suffit (quand il me sert).

Pour le ppmc, le pgdc, ça peut bien être utile !

Shokin

[martini_bird]

Salut,

quel est ton niveau d'étude? Les nombres premiers constituent un sujet fascinant mais particulièrement difficile, mais il y a plein de choses intéressantes sans être professeur ès mathématiques!

En particulier, le livre de Hardy & Wright An introduction to the theory of numbers est superbe et abordable pour un étudiant en première année.

Sinon, la fonction Zeta est définie sur le demi-plan complexe Re(z)>1 par . Le lien avec les nombres premiers se fait grâce à la formule d'Euler:
.

Cordialement.

[invitedebe236f]

sinon j ai trouver ca
pi*pi = 6*1/( 1-1/2²)*1/( 1-1/5²)*1/( 1-1/7²)*1/( 1-1/11²)*1/( 1-1/13²) etc
incroyable non

[A voir en vidéo sur Futura]

[A1]

Merci Martini Bird mais j'avoue que ça ne me suffit pas,en fait,suis en 1 ère année MPSI.
La formule de cricri me paraît assez intéressante!..Très même!
Une démo. ?!

[invite9565d975]

Salut,

le fait que la somme des 1/n² est égale à pi²/6 peut se démontrer de plein de façons différentes, entre autres en calculant des intégrales bien choisies, ou encore des séries de Fourier (mais si tu es en MPSI, tu n'as pas encore dû les voir...). C'est un exo assez classique que tu peux trouver dans pas mal d'annales...

[invitedebe236f]

quand je dis j ai trouver ca veux dire que j ai copier
j ai malheureusement pas le niveau pour demontrer je pense

http://jc.michel.free.fr/pi.php#nombres_premiers

[martini_bird]

Merci Martini Bird mais j'avoue que ça ne me suffit pas,en fait,suis en 1 ère année MPSI.
La formule de cricri me paraît assez intéressante!..Très même!
Une démo. ?!

Salut,

si tu restes sur ta faim tu paux taper "nombres premiers" ou "fonction zeta de Riemann" sous google: il y a pas mal de pages consacrés à ce sujet.

A+

[leg]

Salut tt le monde!

C'est chaque fois que j'aborde des exercices d'arithmétique que je me lance involontairement des inégalités et équations diverses,mais sans but!
Je voudrais au moins savoir pourquoi la somme/diff. de qqes nombres premiers de 2 à 100 donnent des autres nb. premiers , ceci de façon homogène ,rassurante,mais c'est tjs un contre-exemple qui surgit!

Par exemple, en voici une relation reliant qqes nbs premiers (premiers) : 2p(n)=p(n-2) + p(n+2) tq n>4 et p(k) est le k-ième nb premier.plus loin, y'aure une diff de 2 puis de 6 et puis ...!

Je voudrais aussi bien connaitre l'écriture explicite de La fonction Zeta..

Merci bien.

bonjour A1,les différences que tu trouves entre les nombres P, de 2 a 100 par ex 2 , 6 ,4..etc viennent de L'ensemble P(mod.30)en excluant 2, 3 et 5 tu trouves donc le cycle des différences de cet ensemble qui est : 6 , 4 , 2 , 4 , 2 , 4 , 6 et 2; dont le total fait 30 et en partant de 1, tu obtients
1 7 11 13 17 19 23 29
6 4 2 4 2 4 6 2
31 37 41 43 47 49 53 59
6 4 2 4 2 4 6 2
61 67 71 73 77 79 83 89

91 97 101.... tu enlèves 49 , 77 et 91 qui sont composés les autres sont premiers!

tu peux continuer a l'infini tu obtiendras l'infinité des nombres P et leurs composés, congrue P(30) bien entendu 1 sera remnplacé par 31 vu que 1 donne aucun renseignement sur la primalité d'un nombre.

donc tu vois tout nombre < 31 est multiple de 2 , 3 ou 5; ou alors il est premier;

Ce qui va te donner, 8 séries ou familles disjointes , avec un nombre P à la tête de ces 8 séries et qui constiturons un groupe multiplicatif ( 7 . 11 . 13 . 17 .19 .23 .29 .31 )

Ce tableau contient tous les INp et leurs INc. Si l’on prend un nombre au hasard dans ce tableau, il est soit premier soit multiple de INp appartenant à ce tableau ; Crible des Np de : [ E.p(30){2,3,5} ], S = série, somme de la Ligne 1 = 120,

L.n + 240 = L.n + 1; C = cycle : C.1=1080, C.n + 2160 = C.n + 1. un C = 24 Np ou Nc. (un cycle est égal à 24 restes modulo 9, il ne s’agit pas d’un hasard. Et 36 = la somme du cycle / 3.)
Une Ligne = 8 Np ou Nc.

S.1 S.2 S.3 S.4 S.5 S.6 S.7 S.8

1 7 11 13 17 19 23 29 L.1 = 120
31 37 41 43 47 49 53 59 L.2 = 360 } C.1 = L1+L2 + L3= 1080
61 67 71 73 77 79 83 89 L.3 = 600 (1080 / 30) / 36 = 1

91 97 101 103 107 109 113 119 L.4 = 840
121 127 131 133 137 139 143 149 L.5 = 1080 } C.2 = 3240
151 157 161 163 167 169 173 179 L.6 = 1320 (3240 / 30) / 36 = 3

181 187 191 193 197 199 203 209 L.7 = 1560
211 217 221 223 227 229 233 239 L.8 = 1800 } C.3 = 5400
241 247 251 253 257 259 263 269 L.9 = 2040 (5400 / 30) / 36 =5

271 277 281 283 287 289 293 299 L.10 = 2280
301 307 311 313 317 319 323 329 L.11 = 2520 } C.4 = 7560
331 337 341 343 347 349 353 359 L.12 = 2760 (7560 / 30) / 36 = 7

voila quelques indications qui te permettrons, je l'espère de te faire une idée.

A + leg

[invite9f29450d]

Moi je voudrais savoir comment on passe de la fonction Zeta (Z(s)=1+1/2^s +1/3^s +1/4^s + .....) a la relation suivante:

1/Z(s)= (1-1/2^s) (1- 1/3^s) (1-1/5^s) ...(1-1/p^s) ... (avec p premier)

???

[martini_bird]

Moi je voudrais savoir comment on passe de la fonction Zeta (Z(s)=1+1/2^s +1/3^s +1/4^s + .....) a la relation suivante:

1/Z(s)= (1-1/2^s) (1- 1/3^s) (1-1/5^s) ...(1-1/p^s) ... (avec p premier)

???

C'est une question d'indexation, en utilisant la somme des séries géométriques: si p est un nombre premier, on a clairement


Ainsi on développe le produit .
Pour celà, on regarde chaque combinaison possible et on obtient .

A+

[invite9f29450d]

Merci pour cette réponse.

Mais je savais pas que l'on pouvait utiliserle développement en serie géometrique de 1/(1-p^s) (avec s complexe) pour s réel il faut que p^s <1
d'autre part , il me semble que ton explication démontre l'equation dans l'autre sens (a partir du résultat)
mais si on veut partir de Z(s)=1+1/2^s +1/3^s +1/4^s + ...
comment on fait pour faire ressortir les nombres premiers ?

[martini_bird]

Mais je savais pas que l'on pouvait utiliserle développement en serie géometrique de 1/(1-p^s) (avec s complexe) pour s réel il faut que p^s <1

Salut,
précisément, il faut que et donc puisque p>1 que la partie réelle de s soit >1, qui est la condition pour écrire zeta en série des n^-s.

d'autre part , il me semble que ton explication démontre l'equation dans l'autre sens (a partir du résultat)
mais si on veut partir de Z(s)=1+1/2^s +1/3^s +1/4^s + ...
comment on fait pour faire ressortir les nombres premiers ?

Effectivement, je pense que c'est plus facile à comprendre ainsi. Pour l'autre sens, il suffit de faire le raisonnement à l'envers (c'est un peu tricher, mais bon ).

[invite9f29450d]

Ah ok je viens de comprendre que pour que le module de p^-s < 1 il suffit que la partie reelle de s soit <1 . C'est en rapport avec une question que j'ai posée recemment en plus! a savoir un nombre elevé a la puissance complexe ce nombre (k) a pour module : k^a ( module de k^(a+b*i) = k^a ) .

Sinon pour la demonstration , je m'insurge (hi hi) !
Dans le sens inverse c'est trop facile! c'est de la vérification non de la demonstration .
Le vrai tour de force c'est de faire apparaitre les nombres premiers , cette formule tient de la magie (du moins de mon point de vue)

[martini_bird]

Ah ok je viens de comprendre que pour que le module de p^-s < 1 il suffit que la partie reelle de s soit <1 .

Hum, >1 ! C'est une faute de frappe, j'imagine.

Sinon pour la demonstration , je m'insurge (hi hi) !
Dans le sens inverse c'est trop facile! c'est de la vérification non de la demonstration .
Le vrai tour de force c'est de faire apparaitre les nombres premiers , cette formule tient de la magie (du moins de mon point de vue)

Tu as tout à fait raison. On doit cette formule au grand Euler: fait une recherche sur google si ça t'intéresse! Ceci étant, une vérification tient lieu de démonstration, même si il fallait la trouver, la formule!

(par ailleurs, on trouve souvent aux épreuves du bac: démontrer par récurrence la formule machin. C'est bien beau, mais ça n'apprend pas vraiment à chercher. M'enfin c'est un autre sujet).

Cordialement.