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cherche désespérément la partie imaginaire de...



  1. #1
    baryon

    cherche désespérément la partie imaginaire de...


    ------

    voila mon problème je cherche comment on trouve la partie imaginaire de

    A=(z+1)/(1-z)
    avec z=exp(i*pi/n) , n est un entier naturel supérieur ou égal a 2.

    Bien sur j'ai déja la réponse avec ma calculatrice, mais je voudrais y arriver à la main. Si vous pouviez me détaillez les quelques étapes de calcul ça me rendrait vraiment heureux parce que j'y ai passé du temps!!!!. (suremment pas assez)

    -----

  2. #2
    Chip

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    Suggestion :

    - tu multiplies haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur. Ainsi tu te retrouves avec un dénominateur réel (qui est le module carré du dénominateur initial).
    - tu exprimes le numérateur et le dénominateur avec des fontions trigonométriques. À ce stade il apparaît que la partie réelle de A est nulle, même si ça ne fait pas partie de la question posée.
    - tu exprimes les fonctions trigo en fonction de l'angle moitié.
    - après réarrangement, tu trouves : Im(A)=cotg(pi/2n)

  3. #3
    Soren

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    tu as: (1-z) (1+z)= 1- z^2
    partie imaginaire = im(z^2) = im(e^(2*i*a))= sin(2*a)

  4. #4
    Chip

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    Soren, je ne vois pas le lien entre ce que tu écris et la question de baryon (?)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    baryon

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    Je comprend toujours pas lorsque je multiplie par le conjugué j'ai toujours un nombre imaginaire au dénominateur... votre réponse est correcte chip c'est ce que ma calculatrice me donne. Mais rien a faire j'ai toujours un i au dénominateur. Par contre j'ai pas compri ce que vous avez fait soren.

  7. #6
    shokin

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    (1+z)/(1-z)
    =(1+z)/(1-z) * (1+z)/(1+z)
    =(1+z)^2 / (1-z^2)
    =(z^2+2z+1)/(1-z^2)

    z étant imaginaire (avec partie imaginaire non nulle), z^2 n'est donc pas imaginaire, 1-z^2 non plus.

    Il ne reste que le 2z :

    =(1+z^2)/(1-z^2)+2z/(1-z^2)
    =partie réelle + partie imaginaire.

    Il me semble qu'il en est ainsi.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  8. #7
    Chip

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    Shokin, ce que tu écris à partir de "z étant imaginaire" est... presque entièrement faux, désolé .

    Citation Envoyé par baryon
    Je comprend toujours pas lorsque je multiplie par le conjugué j'ai toujours un nombre imaginaire au dénominateur...
    Il faut multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur (et non par 1+z qui n'est pas le conjugué de 1-z), ainsi le dénominateur sera réel. Écris cette partie de ton calcul, on pourra te dire où est l'erreur.

  9. #8
    shokin

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    Oups ! (ce que j'ai dit n'était valable que si la partie réelle de z était nulle)

    soit z=a+bi, avec a, b réels et i=racine carrée de -1.

    je veux trouver la partie imaginaire (et pourquoi pas celle réelle) de :

    (1+z)/(1-z)
    =(1+a+bi)/(1-a-bi)

    Le conjugué de 1-z n'est donc pas 1+z, mais 1-a+bi.

    =(1+a+bi)/(1-a-bi) * (1-a+bi)/(1-a+bi)
    =((1+bi)^2-a^2)/((1-a)^2+b^2)
    Là le dénominateur est bel est bien purement réel !
    La partie imaginaire sera donc 2bi/((1-a)^2+b^2).

    Voilà ! c'est mieux ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  10. #9
    Chip

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    C'est mieux . Mais la solution nécessite encore quelques efforts...

    Ceci dit un conseil à baryon : ne fais pas le calcul en mettant z sous la forme a+ib, laisse-le sous la forme exponentielle complexe de l'énoncé. Puis passe aux fonctions trigonométriques (cf mon premier message).

  11. #10
    Soren

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    Mea culpa! j'avais lu : (1+z)*(1-z)

    correction: (1+z)/(1-z)=( (1+a) + b*i ) / ( (1-a) - b*i )

    on multiplie le numerateur et le denominateur par ( (1-a) + b*i ) cela donnne:

    ( (1 - a^2 - b^2) + 2*b*i ) / ((1-a^2) + b^2 )

    la partie imaginaire est donc: 2*b*i / ((1-a^2) + b^2 ) (1)
    en remplaçant a et b par cos(teta) et sin(teta) on a:
    (1) = sin(teta)/(1-cos(teta) )
    puis on se sert dess l'equivalence suivantes : sin(teta) = 2*sin(teta/2)*cos(teta/2)
    cos(teta)=cos(teta/2)^2 - sin(teta/2)^2

    et donc (1) = cotg (teta/2)


    (chips avait bon)

  12. #11
    baryon

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    merci beaucoup, en fait j'avais pas utilisé mes formules de duplication

  13. #12
    baryon

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    non en fait ça marche toujours pas pardon parce que j'ai pris la méthode de soren et j'ai 1-cos²(pi/n)+sin²(pi/n) au dénominateur et ça fait....0 !!

  14. #13
    baryon

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    moi je fais:

    (1+exp(i*pi/n))/(1-exp(i*pi/n))

    ce qui donne aprés multiplication par le conjugué:

    (1+exp(i*pi/n))²/(1-exp(2i*pi/n))

    après développement, je met sous la forme trigonométrique et j'ai:
    (j'apelle "a" l'angle pi/n pour simplifeir)

    (1+2(cos(a)+i*sin(a))+cos(2a)+ i*sin(2a))/(1-cos(2a)-i*sin(2a))
    et la ça bloque, je n'arrive pas a me débarasser du isin(2a) en bas.

  15. #14
    Chip

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    Baryon, le conjugué de 1-z, ce n'est pas 1+z. J'ai déjà fait cette remarque au-dessus. Sois un peu plus rigoureux dans tes calculs...!

  16. #15
    shokin

    Re : cherche désespérément la partie imaginaire de...

    Faudra que j'explore cette forme exponentielle que je ne connais pas encore, et qui débouche sur de la trigonométrie.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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