TS nombres premiers...

[invite0eca5fa0]

il s'agit de démontrer qu'il existe une infinité d'entiers a tels que pour tout entier n , N=n⁴+a ne soit pas premier.
A part 0 je n'en trouve aucun...
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[g_h]

Salut,

essaie de raisonner par l'absurde : fixe n et suppose que les nombres "a" sont en nombre fini

[invite0eca5fa0]

oui j'ai déjà pensé à ça.. en fixant k nombres a_i
Mais je n'arrive pas à une contradiction
j'ai pensé au nombre a₁a₂...a_k+n⁴ mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est premier pour aucune valeur de n
En fait je pense qu'il faudrait trouver un nombre du type a+n⁴ plus grand que a_k+n⁴ , et qui soit divisible par quelque chose pour tout n
Seulement je ne vois aucune factorisation , c'est pas comme si on avait une difference...

[invite0eca5fa0]

PS: je crois que n ne doit pas etre fixé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour,
une idée est de factoriser n^4+a.
Si a est négatif on peut le faire facilement (il suffit d'une condition toute bête sur a)

Si le problème est plus dur et impose a positif, on y arrive aussi on cherche sous la forme n^4+a=(n²+bn+c)(n²+dn+e) on trouve des conditions (pas méchantes voir agréables) sur b, c, d et e.
Il reste à trouver parmi les candidats précédents ceux pour lesquels aucun des deux facteurs n'est égal à 1 ou -1 ce qui peut se faire à l'aide des discriminants.

[invite0eca5fa0]

ok, merci beaucoup...