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Grands cardinaux



  1. #1
    Superbenji

    Grands cardinaux

    Bonjour,

    Je m'intéresse en ce moment aux grands cardinaux, mais hélas je n'ai pas réussi a trouver grand chose a ce sujet sur le net.

    Donc j'aimerais savoir ce que sont les grands cardinaux ?
    Comment sont construit ces cardinaux ? Et quelles sont leurs propriétés ?

    J'ai vu sur le peu que j'ai trouvé qu'il en existe de différents types: Cardinaux de Woodin, de Mahlo, inaccessible, non-mesurables, compact, etc... est t-il possible d'en avoir une définition ?

    Cordialement

    -----


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  3. #2
    jobherzt

    Re : Grands cardinaux

    Je ne suis pas specialiste, je vais te dire le peu que je pense avoir compris.

    D'abord un papier de Dehornoy qui tourne autour de ca et qui devrait t'interresser : http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgy.pdf

    De ce qu'il me semble, les grands cardinaux correspondent a des axiomes qu'on ajoute a la theorie des ensembles ZFC pour la rendre plus "complete" ou plus "stable" en un sens a definir.

    Un des resultats qu'on attend, dit informellement, serait de pouvoir construire une fondation axiomatique des maths telles que toute proposition concernant les ensembles soit decidable. Autrement dit, le theoreme de Godel implique que dans toute theorie "complexe" il existe des propositions indecidables, le but est de faire en sorte que les porpositions indecidables ne soient "pas celle qui sont interressante".

  4. #3
    Médiat

    Re : Grands cardinaux

    Citation Envoyé par Superbenji Voir le message
    Bonjour,

    Je m'intéresse en ce moment aux grands cardinaux, mais hélas je n'ai pas réussi a trouver grand chose a ce sujet sur le net.

    Donc j'aimerais savoir ce que sont les grands cardinaux ?
    Comment sont construit ces cardinaux ? Et quelles sont leurs propriétés ?

    J'ai vu sur le peu que j'ai trouvé qu'il en existe de différents types: Cardinaux de Woodin, de Mahlo, inaccessible, non-mesurables, compact, etc... est t-il possible d'en avoir une définition ?

    Cordialement
    Vaste question sur laquelle tu trouveras de la matière sur le net. La notion centrale, celle de cardinal (faiblement) inaccessible permet de dire qu'un cardinal n'est ni le successeur d'un cardinal plus petit, ni une somme de moins que lui cardinaux plus petit que lui (en gros ne peut s'exprimer avec des cardinaux strictement plus petit que lui). répond à cette définition, mais il est exclu des inaccessibles, par contre il illustre bien le concept ( n'est pas egal à une somme fini de cardinaux finis).

    L'exemple bateau des accessibles non triviaux est , qui n'est pas successeur, mais qui est la somme des , c'est à dire une somme dénombrable (plus petit que lui) de cardinaux plus petits que lui.

    Ayant créé une nouvelle façon de "parler" de grand cardinaux, il devient possible de "parler" des cardinaux (hyper inaccessible) dont on ne peut parler en fonction de cardinaux plus petits, même en usant de la notion d'inaccessibilité, etc.

    Attention : ZFC ne permet pas de démontrer qu'il existe des inaccessibles, il faut donc ajouter des axiomes pour être sur qu'il en existe.
    Dernière modification par Médiat ; 21/10/2011 à 07h41.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    homotopie

    Re : Grands cardinaux

    Je me rappelle d'un article de vulgarisation de J.P. Delahaye (qui n'est pas un spécialiste mais il connaît quand même) que ces axiomes permettent notamment de montrer que les ensembles projectifs (partie des parties de R strictement plus vastes que les boréliens mais strictement plus petit que l'ensemble de toutes les aprties de R) vérifient l'axiome du continu (il n'y en a aucun de cardinal, dans le sens "être en bijection", strictement compris entre celui de N et celui de R). L'intérêt est que cela permet de justifier a priori ce résultat qui était quasiment admis pour des raisons a posteriori : la classification qui en découle est belle.
    J'essaie de remettre la main dessus notamment pour donner la définition d'"ensembles projectifs".

  6. #5
    Superbenji

    Re : Grands cardinaux

    Merci pour vos réponses, je commence a y voir plus clair.

    Bonne fin de soirée !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Superbenji

    Re : Grands cardinaux

    Bonjour,

    Donc si je comprend bien, si ces cardinaux inaccessibles existaient, ils seraient strictement supérieur a tout cardinal constructible dans ZFC.
    Par exemple, le cardinal de la classe de tout les ensembles de ZFC est un cardinal inaccessible (si la notion de cardinal s'applique aux classes ? pas sûr que ça soit correcte ce que je dit la).

    Mais en ajoutant des axiomes de grands cardinaux a la théorie, on la rend plus générale, car lui permettant de pouvoir manipuler des ensembles plus grands.
    Et même ainsi, il existerait encore d'autres cardinaux inaccessibles qu'elle ne pourrai atteindre, quel que soit les axiomes que l'on ajoutent.
    Est-ce bon ?

    Cordialement

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  10. #7
    Médiat

    Re : Grands cardinaux

    Citation Envoyé par Superbenji Voir le message
    si la notion de cardinal s'applique aux classes ? pas sûr que ça soit correcte ce que je dit la
    Comme tu t'en doutes ce n'est pas correct.

    Citation Envoyé par Superbenji Voir le message
    Mais en ajoutant des axiomes de grands cardinaux a la théorie, on la rend plus générale
    En ajoutant des axiomes on précise une théorie donc on la rend moins "générale" (la théorie des groupe abéliens est moins générale que la théorie des groupes).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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