Plop !
En cours, on a étudié la topologie de base (ouvert, fermé, compact, connexe, convexe, et quelques autres trucs), qui se faisait sur.
Or, en lisant ce forum, je vois beaucoup de types de topologies.
-> Diffèrent-elles selon l'espace d'étude ou... ? Enfin je ne connais pas du tout le vocabulaire, pouvez-vous m'en dire plus ?
(sur wiki, ce n'est pas super clair ~)
Salut gentille MoletteEnvoyé par MiMoiMolette
-> Diffèrent-elles selon l'espace d'étude ou... ? Enfin je ne connais pas du tout le vocabulaire, pouvez-vous m'en dire plus ?
La première chose à comprendre en topologie, c'est que ce qui compte ce n'est pas l'ensemble sous-jacent (ce que tu appelles l'espace sans doute), mais au contraire la famille d'ouverts que l'on définit dessus (famille de sous-ensembles). Certaines de ces topologies sont "naturelles", en particulier quand une distance "naturelle" existe dans ces ensembles c'est le cas de IR^n par exemple, mais rien n'interdit de définir d'autres topologies dessus ("Topologie où tous les sous ensembles sont des ouverts" (discrète), au contraire "topologie ou seuls l'ensemble vide et l'ensemble tout entier sont des ouverts" (grossière)).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Comme tout ce qui permet de mettre une "structure" sur un ensemble, la topologie que tu mets depend essentiellement... de ce que tu veux en faire
Donc effectivement il existe des tas de topologie qui ont un sens par rapport a ce que tu etudie, et en particulier par rapport a l'ensemble que tu manipules, et aux eventuelles autres structures que tu manipules dessus.
Bonjour,
vaste question
La topologie est une "analyse du lieu", ("situs analysis", à l'orthographe près, était son nom originel) donc se rapproche en cela de la géométrie. Mais elle en différe par une plus grande souplesse. On considère souvent qu'un espace topologique est une sorte de morceau de caoutchouc que l'on peut déformer à volonté tant que l'on ne fait pas de trou et que l'on ne déchire pas. Pour plus d'explications, sur ce point un article de wikipedia n'est pas mal fait.
Néanmoins, cette vision "morceau de caoutchouc" (l'aspect local est généralement imposé, on a généralement des variétés, par contre l'aspect global est très important : nombre de "trous" résume alors les études qui sont faites) ne résume qu'un pan de la topologie.
Une autre question très importante (en analyse par exemple) est de savoir quel est l'aspect local d'un espace, en particulier d'un ev, "granulaire" (type Q et sa topologie usuelle) ou "complet/continu" (type R) ou un mixte des deux (ce qui est le cas de nombreux espaces vectoriels de dimension infinie). (ici, l'aspect global revêt généralement peu d'importance, un ev réel est en général contractile, il faut parfois que je fasse l'effort pour ne pas le confondre avec un point) Par exemple, les polynômes R[X] avec une norme (quelconque) présentent les deux aspects, aspect continu : R[X] contient une infinité d'ev de dimension finie qui ont de nombreuses propriétés communes avec R (topologie usuelle) mais n'est pas complet. Une difficulté se présente ici : la notion de complétude est métrique (cf contre-exemple n°24) et non topologique. Mais il existe des notions (notamment espace de Baire) qui elles sont purement topologiques avec des différences (pour pouvoir être complet, notion métrique, il faut être de Baire mais il existe des espaces de Baire qui ne sont pas complets). Dans ce domaine les notions les plus importantes sont la compacité et la locale compacité (ça c'est vrai partout), et la complétude (où la topologie ne peut apporter que des notions partielles), rappel compacité=>complétude. Ces deux notions sont évidemment importantes pour les preuves d'existence de solutions (l'unicité relève le plus souvent de l'analyse ""pure"") : théorème des valeurs intermédiaires (et ses conséquences qui empruntent, elles, à l'analyse là où le TVI est purement topologique), existence de solutions aux équations différentielles (qui ne sont pas purement topologiques par contre)... Il existe aussi des notions telles que "convexité" sont en quelque sorte à mis chemin.
C'est encore une histoire de "trous".
Cette question de "l'aspect local" ne concerne pas que les espaces vectoriels réels. Ainsi, des espaces tels que celui de Cantor (espace de Cantor dont un exemple est l'ensemble de Cantor) parvient à concilier la compacité et un aspect granulaire. Ce dernier prend la forme de la propriété dite de "complète discontinuité" (les seules parties connexes sont les points). Ce type d'espace est très étudié en particulier du fait que les corps p-adiques ont localement cette structure.
La topologie se présente donc surtout comme une structure a minima qui est complété selon les voies (géométrie, analyse...)
La définition exacte d'une topologie est :
une topologie sur un ensemble E (qu'on appelle du coup "espace topologique" ou "espace" tout court) est une partie T (normalement un joli T majuscule manuscrit) de P(E)={parties de E} telle que :
i)
ii) toute union d'éléments de T est dans T
iii) toute intersection finie de T est dans T
Un élément de T est appelé un ouvert (de E). Une partie dont son complémentaire dans E est ouvert est appelé un fermé.
Une application continue f : (E,T)->(F,T') est une application vérifiant f-1(U) est un ouvert de (E,T) pour tout ouvert U de (F,T').
Un homéomorphisme est une application bijective continue et de réciproque continue (que l'on résume souvent en bicontinue).
Tu es servie avec de belles définitions comme ça, non ?
essayons de définir ce qu'est une topologie en termes plus concrets ? C'est un objet mathématique qui dit comment les parties d'un ensemble (qui sera alors un espace) se "recollent" entre elles. Ceci est fait grâce à l'adhérence (ou fermeture) et l'intérieur. En topologie de manière générale l'adhérence d'une partie est défini comme le plus petit fermé contenant la partie, l'intérieur comme le plus grand ouvert contenu dans cette partie. Les propriétés d'une topologie assure que ceux-ci existent toujours. Deux parties se "recollent" selon leur frontière. Ca c'est pour la vision globale. Une illustration écrite au post #15 (ça manque de dessins).
Ainsi, puisqu'une topologie permet de savoir comment on recolle les différentes parties entre elles, la notion de "on déforme mais sans déchirer ni trouer" prend un sens. L'aspect lisse d'une sphère peut par "déformation topologique" prendre des coins et se transformer en un cube dans une vision plus géométrique. Mais on ne peut pas la transformer en un disque (si bord alors il y a des points distincts localement contrairement à la sphère, si sans bord on peut recouvrir le disque par une suite strictement croissante d'ouverts ce qui est impossible pour la sphère sauf si on la troue en un point). On ne peut pas non plus la transformer en un tore : sur un tore on peux découper (pour une fois) selon un cercle tout en conservant un seul bloc (connexité) c'est impossible pour la sphère (la preuve de ce dernier point n'est pas à proprement parler triviale mais intuitivement assez évident). Ce type de notion est une des bases de la topologie algébrique (la sphère et le tore ont des trous mais ils ne sont pas de la même nature).
Une topologie permet malgré son aspect global de définir les notions de "local" et d'"autour d'un point" ne se comprend pas en prenant tel ou tel ouvert le contenant, en gros ils sont tous très grands, mais en les considérant en leur entièreté ou en prenant une partie V(x) telle que pour tout ouvert U contenant x il existe un ouvert dans V(x) inclus dans U (ça s'appelle une base de voisinage ouvert). On peut voir une topologie ainsi : on nie les points pour les faire renaître en des familles d'ouverts n'ayant qu'une partie commune (le point quand tout va bien). La question de savoir si tout va bien est la question de la séparation qui va de "pour deux points donnés existe-il au moins un ouvert n'en contenant qu'un des deux ?", espace dit de Kolmogorov, à "pour deux fermés disjoints existe-t-il deux ouverts disjoints chacun contenant un des deux fermés", espace normal en passant par "pour deux points donnés existe-t-il deux ouverts disjoints chacun contenant un de ces points ?", espace dit séparé ou de Hausdorff. Ceci permet de savoir où ces points sont par rapport aux autres de manière souple.
Elle permet aussi de faire la distinction entre des notions (trop) souvent égales intuitivement comme par exemple "une partie est partout" (densité, notion globale) et "remplit au moins une partie de l'espace" (intérieur non vide, notion en fait locale). On sait que Q est dense mais d'intérieur vide dans R muni de la topologie usuelle.
La topologie permet donc de définir à la fois des notions globales (connexe, compact, simplement connexe, invariants de la topologie algébrique...), locales (séparation, totalement disconnexe, qui tient aussi du global, localement "truc"...). Certaines propriétés sont intrinsèques (compact, connexe...) d'autres extrinsèques (fermé, ouvert, dense, intérieur vide...).
Bref, avec bien peu de choses, ce qui lui confère une grande souplesse, une topologie permet de structurer un ensemble de manière néanmoins relativement rigide.
La topologie est donc la plus belle de toutes les disciplines (opinion qui n'engage que moi).
Quelques voies parmi les plus importantes pour définir une topologie :
1) métrique (surtout en géométrie des variétés), normes (en particulier pour une famille importante d'espaces vectoriels de l'analyse) et plus généralement distance.
2) topologie de l'ordre : les ouverts sont les unions des intervalles ouverts (les ]a,b[={x ; a<x<b}). Celle-ci définit la topologie usuelle sur Q et sur R (cette définition se révèle parfois bien plus pratique, un exemple ici (ce n'est pas trivial)
3) critère de convergence. Un exemple est la convergence simple (un autre sur un fil récent est la topologie faible). A partir d'un critère de ce type, on définit plutôt les fermés : ce sont ceux pour lesquels "on ne peut pas sortir en prenant une limite". Il faut qu'une sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite que la suite.
4) à partir de base de voisinage, en gros on se donne un critère pour dire si un point est à l'intérieur d'un ensemble ou non. c'est une définition qui part du local pour arriver au global contrairement à la définition usuelle.
5) à partir d'"opérations" : topologie produit, topologie quotient, topologie définie par une ou plusieurs applications (par exemple la topologie de la convergence simple peut aussi être définie comme la plus petite, dans le sens de l'inclusion une topologie est un ensemble, qui rend les applications évaluations continues evx(f)=f(x)), topologie compacte-ouverte (topologie sur les applications continues d'un espace (X,T) dans (Y,T') par les ensembles V(K,U)={f ; f(K) inclus dans U} où K est un compact de X et U un ouvert de Y. Si U est métrique elle coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact)...
6) par une application fermeture ou une application ouverture. Une application ouverture est une application O : P(E)->P(E) telle que O²=O, O(X) est inclus dans X, "O(union)=union des O" "O(intersection finie)=intersection finie des O". Les ouverts sont les O(X). Pour la fermeture c'est similaire mais avec les règles des fermés.
7) topologie de Zariski (très utilisée en géométrie algébrique), topologie profinie (les ouverts sont le vide et ceux dont le complémentaire est fini) utilisé notamment en logique... Dans de nombreux domaines il y a moyen de définir des topologies qui apportent une contribution non négligeable
8) les topologies "triviales" : discrète et grossière (cf post de Médiat)
...
Hi !
Quelques questions comme ça (j'essaie de lire et relire, mais il va me falloir un peu de temps pour comprendre ^^)
Médiat:
Les sous-ensembles sont-ils forcément des ouverts ? D'ailleurs, sous-ensembles au sens erroné que j'ai utilisé, ou véritables "sous-ensembles de topologie" ?mais au contraire la famille d'ouverts que l'on définit dessus (famille de sous-ensembles)
Ou bien parlais-tu de la topologie discrète ?
jobherzt:
En fait, on fait de la topologie depuis les plus tendres années du lycées ?!?Comme tout ce qui permet de mettre une "structure" sur un ensemble, la topologie que tu mets depend essentiellement... de ce que tu veux en faire
J'ai du mal à concevoir le fait qu'on puisse y faire ce qu'on veut... J'ai le droit par exemple de dire qu'il y a une topologie où tous les points sont représentés par des droites, les droites sont représentées par des plans ?
D'ailleurs, une topologie, ça se "représente" ?
homotopie:
N'est-ce pas ! :Pvaste question
Comment se traduit ce phénomène de trou ou de déchirure ? Concrètement, quelles sont les limites de la topologie ??On considère souvent qu'un espace topologique est une sorte de morceau de caoutchouc que l'on peut déformer à volonté tant que l'on ne fait pas de trou et que l'on ne déchire pas.
Ce qu'on utilise est la "topologie usuelle" ? Quels sont ses critères ? Ses propriétés d'élasticité, sa tension etc ? (pour reprendre l'idée caoutchouteuse ^^)
Ça fait beaucoup de question, je sais, mais au moins, je ne dirai pas que je n'aime pas une chose sans en avoir vu le réel contenu
Pour le reste, il faut que je le lise encore et encore, c'est bien trop nouveau pour moi :/
Merci à vous trois !
Définir une topologie c'est décider quels sont les ouverts, la famille de sous-ensembles choisis est donc constituée d'ouverts pour cette topologie car être un ouvert n'est pas une propriété intrinsèque d'un sous-ensemble ; par exemple une topologie exotique que tu peux appliquer à tous les ensembles infinis : la topologie de Zariski évoqué par homotopie où les ouverts sont les conplémentaires des ensembles finis, plus l'ensemble tout entier (d'habitude je dis ensembles cofinis et non profinis ...). Tu devrais faire l'exercice, très simple, de vérifier que c'est bien une famille d'ouverts, juste histoire de manipuler un peu.
Je laisse parler le boss
PS : Grisaille, c'est pas triste, et c'est un joli mot dans la bouche
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
D'ailleurs, par "le reste", je parle de la grande majorité du message d'homotopiePour le reste
Biin pourquoi ? Est-ce la même chose pour les fermés ?car être un ouvert n'est pas une propriété intrinsèque d'un sous-ensemble
Pourtant, il existe des ensembles qui ne sont ni ouverts (ni fermés), donc comment les définit-on dans la topologie ?
Pour "topologie exotique", j'avais lu le terme il y a un ou deux mois, qu'est-ce donc exactement ?
La topologie profinie rentre-t-elle dans le cadre de la topologie usuelle ? On a défini les ouverts comme étant des ensembles dont les complémentaires sont des fermés... Il existe des topologies qui sont définies comme étant plusieurs topologies ?
Niark, faut que je me calme sur les questions ^^
Je reviendrai quand j'aurai lu et surtout compris ce qui a été dit (du moins en partie)
Mirki !
PS : une robe grise peut être magnifique tout en étant d'une couleurs d'habitude terne ^^
Bonsoir,
pour les trous, il me semblait que l'on étudiait ça avec les suites de Cauchy, si on a une suite de Cauchy qui converge pas, je vois ça comme le fait qu'elle se rapproche vers un "trou", et qu'il n'y a pas de "trou" lorsque c'est complet, non?
bon après c'est dans un cadre métrique.
Comme on ne parle pas d'un ensemble particulier, c'est impossible à dire.
Les seuls endroits où je parle de "topologie usuelle" concernent R et Q. Elle désigne celle de l'ordre : un ouvert est une union d'intervalles ouverts, bref l'usuelle...
Elasticité infinie : exemple la racine carrée définit un homéomorphisme de [0,1] sur [0,1] pourtant f'(0)=infinie (donc on étire de manière infinie le "morceau de ficelle" [0,1] près de 0).
Il n'y a pas de tension du fait de l'élasticité infinie. Mieux vaut ne pas pousser trop loin physiquement (la discipline scientifique) le parallélisme avec déformation continue/morceau de caoutchouc.
Illustrons :
on prend R, on considère
J'ai donné un exemple entre la sphère et le disque sans bord mais approfondissons. On sait qu'ils sont différents car l'un est compact pas l'autre, si on essaie de coller un tel disque caoutchouteux sur une sphère (sans point double) on sent qu'il va manquer au moins un point mais pas nécessairement plus. La projection stéréographique (on place une sphère "parfaite" sur un plan sur son pôle sud et si on projette les points sur le plan à partir du pôle nord on définit une bijection entre les points de la sphère moins le pôle nord et le plan. On tire infiniment notre sphère près du pôle nord mais on ne déchire pas (la déchirure aurait lieu au pôle nord mais on l'a exclu comme
On vient donc de voir que la sphère est bien distincte topologiquement du disque sans bord mais la sphère moins un point est topologiquement identifiable au disque sans bord. Faire un trou modifie bien la topologie.
Maintenant, la sphère et le disque avec bord. Imaginons une application bijective et bicontinue entre la sphère et le disque. Intuitivement, le bord du disque qui est un cercle s'envoie continument et sans point double dans la sphère. Prenons un point sur cette courbe et prenons le chemin inverse, la courbe va sur le bord, un côté se pose contre mais l'autre côté ? Si on ne veut pas de point double on est obligé de l'envoyer plus loin donc on déchire (tirer un maximum sur notre membrane ou feuille de caoutchouc ne suffira pas). Maintenant, une des preuves formelles les plus simples est de montrer que les ouverts autour d'un point du bord diffère en nature des ouverts autour d'un point de la sphère (ou un point "intérieur" du disque) en ceci : on a des ouverts qui sont des disques ouverts pour chaque mais pour les uns (points du disque) si on le retire on a quelque chose où on peut tracer un chemin fermé et tout en le maintenant fermé on peut l'écraser en un point tandis que pour les autres, un ouvert qui est un disque sans bord auquel on retire un point on peut calculer (c'est assez intuitif mais délicat à montrer proprement) le nombre de tours autour de "trou" que fait un chemin fermé, ce n'est pas simplement connexe.
cf ci-dessus
La topologie au niveau de l'enseignement a ce problème :je ne dirai pas que je n'aime pas une chose sans en avoir vu le réel contenu
au début, les utilisations tombent assez vite : preuve rigoureuse du théorème des valeurs intermédiaires, convergence d'au moins une sous-suite extraite dans un fermé borné de Rn, convergence des suites de Cauchy. Mais ensuite on passe rapidement à des résultats plus analytiques (oubliant que l'existence des intégrales sont des résultats de topologie bien souvent). L'aspect calculatoire, malgré son côté rébarbatif parfois, a un côté "rassurant" par rapport aux résultats précédents qui sont perçus "pratique mais quelle usine à gaz pour y arriver" (normal, les autres parties ont commencé à être étudiées depuis le lycée voir collège). De plus, je pense que j'ai réussi à montrer que les notions topologiques touchent pour une partie à l'analyse, une autre à la géométrie... ce qui multiplient les notions utiles (densité, complétude... pour l'un, connexe simplement connexe, ... pour l'autre). De plus, on est obligé de passer par le solfège de la topologie (manipulation des fermetures, ouvertures, comme par exemple intérieur de l'adhérence, etc...). Mais, contrairement à la musique où tout un chacun sait bien ce qui a après : jouer des morceaux. En topologie qu'y a-t-il après ? Il y a des jolis résultats, dont certains très intuitifs, mais délicats à montrer et qui demandent de mettre en place toute une "usine" dont l'apprentissage peut paraître pénible.
Moi aussi, désolé
Par contre pour la topologie de Zariski en géométrie algébrique est encore une autre (Par exemple pour A un anneau, les points sont le idéaux maximaux, les fermés sont engendrés par les idéaux). La topologie cofinie est aussi appelée de Zariski, pourquoi ?
[QUOTE=MiMoiMolette]La topologie profinie rentre-t-elle dans le cadre de la topologie usuelle ? On a défini les ouverts comme étant des ensembles dont les complémentaires sont des fermés... Il existe des topologies qui sont définies comme étant plusieurs topologies ?(/QUOTE]
topologie cofinie
On peut définir une topologie par les fermés puisque si ceux-ci sont définis alors les ouverts le sont aussi (ce sont les complémentaires des fermés).
maintenant, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris la question.
Ici, exotique signifie simplement différente de l'usuelle mais vérifiant certaines propriétés.
Q n'est ni ouvert ni fermé dans R avec la topologie usuelle mais Q est fermé et ouvert dans lui-même pour n'importe quelle topologie sur Q.
Pour tous les ensembles, il y a au moins leur fermeture et leur adhérence qui sont définis.
Rappel (au cas où) : une propriété est dite intrinsèque si elle reste vraie quelle que soit le "lieu" dans lequel on se place. Exemple : [0,1] dans lui-même est compact mais il l'est aussi dans R, l'est dans un disque suffisamment grand pour le contenir... Si la propriété dépend du "lieu" alors elle est dite extrinsèque.
Il y a différentes sortes de "trous". Ceci en est un aspect mais il y a aussi un aspect plus proche de la géométrie.
Sinon, si vous trouvez l'ouvrage de vulgarisation sur un pan de la partie "géométrique" de la topologie de Jean-Pierre Petit le topologicon n'hésite pas à le lire. (Je ne sais pas ce que J.P. Petit "vaut" en physique mais cet ouvrage, lui, est très bon).
Attention, j'ai pas dit qu'on pouvait faire toutet n'importe quoi !!! J'ai dit que la notion de topologie etait tres large dans le sens ou elle etait relativement "permissive" (il ne faut pas grand chose pour en definir une) et que suivant les objets que tu manipulais (et notamment la strcture que tu avais deja dessus) tu allais chercher telle ou telle topologie plus ou moins coherente avec ce que tu fais.En fait, on fait de la topologie depuis les plus tendres années du lycées ?!?
J'ai du mal à concevoir le fait qu'on puisse y faire ce qu'on veut... J'ai le droit par exemple de dire qu'il y a une topologie où tous les points sont représentés par des droites, les droites sont représentées par des plans ?
D'ailleurs, une topologie, ça se "représente" ?
Peut-être parce que pour A = Z (sans l'idéal nul) c'est pareil (wikipedia ; mais mes connaissances en géométrie algébrique sont très limitées, d'ailleurs je l'ai plus souvent appelé filtre de Fréchet que topologie de Zariski
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Une topologie permet de structurer "spatialement" un ensemble comme une géométrie.D'ailleurs, une topologie, ça se "représente" ?
Prenons un cadre plus rigide pour tenter d'expliquer. Si tu prends la droite réelle (bien droite, rigide et tout et tout...) tu as en gros un représentant de la droite géométrique (et aussi un représentant de la droite réelle topologique). Mais tu peux prendre aussi une parabole pour représenter cette droite (il suffit de placer convenablement les points et s'astreindre à ne se déplacer que sur cette parabole). Tu ne peux plus plonger ta parabole dans le plan (il y aura alors de raccourcis qui vont réduire les distances entre les points) tout en conservant cette géométrie mais là on est dans le domaine de l'extrinsèque.
La géométrie de la droite ne dépend pas d'une représentation particulière ou d'une autre. La droite bien droite et la parabole en sont des représentants.
Pareil pour un rectangle. Tu prends une feuille de papier que tu ondules légèrement (sans plis) la géométrie est la même que lorsqu'elle est bien plane (si tu as une bonne dizaine de bras tu peux vérifier que la somme des angles d'un triangle est toujours égale à pi). Si tu prends une hémisphère, tu as une autre géométrie : il est impossible de recouvrir cette hémisphère avec une feuille de papier sans la froisser. La géométrie intrinsèque permet de faire des chose telles que l'onduler (c'est une perception extrinsèque) mais ne permet pas tout et n'importe quoi, par exemple recouvrir une hémisphère.
On peut considérer des géométries plus souples (admettant les homothéties par exemple)
Pour la topologie c'est la même chose mais en plus souple. Ainsi, la droite que je pouvais courber dans un autre espace mais les déplacements internes restaient limités aux translations et symétries. La droite topologique, elle, on peut la tirer (tant que l'on ne casse pas), la compresser (tant que l'on envoie pas des points différents sur un même point)... La feuille de papier topologique n'a aucune difficulté à recouvrir une hémisphère, la feuille est désormais en caoutchouc ce qui évite les plis. Mais comme dit Jozhbert on ne peut pas faire tout et n'importe quoi. On ne peut pas transformer la droite en hyperbole (un morceau d'un côté deux de l'autre), on ne transformera pas la feuille en un anneau (il faudrait trouer) ni... en l'espace des polynômes muni de la norme de la convergence uniforme sur [0,1].
Se représenter une topologie c'est +/- avoir ce qui précède en tête. Evidemment, on ne passe pas son temps à déformer les espaces quand on travaille sur un espace particulier (à moins d'avoir un tube d'aspirine à portée de main
Evidemment pour certains espaces topologiques, la représentation est moins aisée mais c'est le cas pour tous les domaines: tu arrives à te représenter un ev de dimension 45 toi ? Moi non plus, on utilise des artifices.
Sans doute oui car j'ai beau mal connaître moi-même la géométrie algébrique, je ne pense pas qu'elles coïncident généralement.
Plop !
On a commencé les vrais cours de topologie (ma prof est excellente !) ! Et ça a fait tilt dans ma tête !
j'étais dans le brouillard complet à l'époque de mes messages précédents car pour moi un ouvert était de la forme ]a,b[ et je n'arrivais pas à m'en défaire.
Maintenant, ça va et c'est vrai qu'un espace topologique est un vrai morceau de caoutchouc ! Je n'en ai jamais mangé, mais ça a l'air appétissant... lol
En les relisant, j'ai vu vos messages sous un tout nouvel angle. Il reste bien sûr des notions que je ne parviens pas à comprendre, mais je suis sûre que ça viendra un peu plus tard !
Merci encore en tout cas
