Démontrer l'expression de argch

invite962bb108 · 13/09/2008, 11h49

Bonjour,

On sait que argch(x)=ln(x+RAC(x^2-1))

Mais comment peut on le retrouver ? Je n'ai trouvé la démo nulle part.

Merci !

invite57a1e779 · 13/09/2008, 12h12

Pour $\text{[math]}$ réel, on veut résoudre l'équation $\text{[math]}$ . On a donc $\text{[math]}$ , c'est-à-dire que $\text{[math]}$ est solution de l'équation $\text{[math]}$ , ou encore $\text{[math]}$ .

Cette équation du second degré admet, lorsque son discriminant est positif..., deux racines $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ telles que :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ , ces deux racines sont négatives et ne conviennent pas pour $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ , ces deux racines sont positives et conduisent à deux solutions de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ est celle de ces racines qui est positive, et qui est obtenue à partir de la plus grande des deux valeurs de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Le calcul effectif conduit à l'expression usuelle.

Autre méthode :
Pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est positif, donc $\text{[math]}$ aussi, et l'on a donc $\text{[math]}$ .

Par suite $\text{[math]}$ , d'où le calcul immédiat de $\text{[math]}$ .

invite962bb108 · 13/09/2008, 13h21

Merci c'est clair ! Ca doit être la même méthode pour argsh et argth.

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