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Démontrer l'expression de argch



  1. #1
    alphons

    Lightbulb Démontrer l'expression de argch


    ------

    Bonjour,

    On sait que argch(x)=ln(x+RAC(x^2-1))

    Mais comment peut on le retrouver ? Je n'ai trouvé la démo nulle part.

    Merci !

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Démontrer l'expression de argch

    Pour réel, on veut résoudre l'équation . On a donc , c'est-à-dire que est solution de l'équation , ou encore .

    Cette équation du second degré admet, lorsque son discriminant est positif..., deux racines et telles que :
    et .

    Si , ces deux racines sont négatives et ne conviennent pas pour .

    Si , ces deux racines sont positives et conduisent à deux solutions de : et . Comme , on a , et est celle de ces racines qui est positive, et qui est obtenue à partir de la plus grande des deux valeurs de et .

    Le calcul effectif conduit à l'expression usuelle.

    Autre méthode :
    Pour tout , est positif, donc aussi, et l'on a donc .

    Par suite , d'où le calcul immédiat de .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    alphons

    Re : Démontrer l'expression de argch

    Merci c'est clair ! Ca doit être la même méthode pour argsh et argth.

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