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Sur les puissances



  1. #1
    Lord

    Arrow Sur les puissances

    Bonjour à tous,

    Voici quelques exercices croustillants sur les puissances:

    a est un réel positif. Discuter suivant les valeurs de a le nombre de solutions des équations précédentes:

    1. a^x=x^a
    2. a^(a^x)=x
    3. a^a^a^a^a^...........^a^x=x, où a est écrit n fois (n entier >1)

    Je connais pas la solution du 3


    Bonne reflexion.

    -----

    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

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  3. #2
    Floris

    Re : Sur les puissances

    D'ailleur, si tu peut m'expliquer la solution du 1 j'en serai hereux, je sait, mon cerveau est très petit.

    Cordialement
    Floris

  4. #3
    Lord

    Re : Sur les puissances

    Pour le 1/
    Prends le logarithme de chaque côté.
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

  5. #4
    space-kro

    Re : Sur les puissances

    bonjour,

    Je pense que pour la première, on peut commencer par distinguer deux cas : a=0 ou a<>0.

    le cas a=0 est direct. Si a<>0, alors en passant au ln on se retrouve avec une équation du type :

    ln(x)/x = ln(a)/a

    maintenant il s'agit de s'interesser à la fonction f : x |--> ln(x)/x et de regarder sur quels intervalles elle réalise des bijections... je te laisse le loisir de terminer.

    Indication : pense à dériver et à examiner le signe de la dérivée.

  6. #5
    Evil.Saien

    Re : Sur les puissances

    Pour le 3),
    on appelle A=a^a^a...^a (n fois)
    On a alors A^x=x
    Discution du nombre de réponse...
    Déja pas de solution si x<0
    Dans les autres cas, il y a une seule solution: en effet, A^x = exp(xlnA) => (A^x)'= A^x lnA dont le signe dépend uniquement de lnA et non de x. Donc la dérivées est toujours du même signe, la fonction monotone.
    On sait aussi (si A>1, sinon c'est l'inverse) que lim(x->0)(A^x)/x=0 et lim(x->oo)(A^x)/x = oo. Il y a donc UNE seule solution.

    La solution (non-triviale) à ce problème, s'éxprime avec la fonction de Lambert...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Lord

    Re : Sur les puissances

    Il doit y avoir un truc qui cloche dans ton raisonnement: Pour n=2 on obtient facilement 3 solutions.
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

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  10. #7
    Lord

    Re : Sur les puissances

    Je viens de résoudre le 3 !!!!

    C'est trôbô
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

  11. #8
    R is R

    Re : Sur les puissances

    Citation Envoyé par space-kro
    le cas a=0 est direct. Si a<>0, alors en passant au ln on se retrouve avec une équation du type :

    ln(x)/x = ln(a)/a

    Si a=0 c'est impossible d'avoir ln(x)/x=ln(a)/a puisque ln(a) pour a=0 est impossible et diviser par 0 également

  12. #9
    Quinto

    Re : Sur les puissances

    Justement, on fait une disjonction de cas..

  13. #10
    space-kro

    Re : Sur les puissances

    je suis dsl, en fait pour moi le symbole <> signifiait "différent de" je sais qu'il y a la notation != aussi. Mais je l'aime pas trop elle est pas clair, tandis que là c'est inferieur stricte et superieur stricte (on a tous les cas)

    enfin je suis dsl c'est pas trop le sujet du post mais c'était pour clairifier les choses.

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