grosse interrogation sur les puissances

[invitea4b4a777]

Bonjour,

Voila, je repensait l'autre jour aux regles sur les puissances et je me suis apercu qu'il y avais qqch que j'avais pas compris. Vous me direz que ca date des années d'ecoles, mais c'est pas grave.

Avant toute chose, je n'est pas la prétention de vouloir refaire les maths (j'ai deja assez de peine avec celles qui existe deja ).

Mon problème est quant un nombre est a la puissance 0, pourquoi le resultat est 1.
Si , alors normalement , mais , pas 1 .

Je suis sur que c'est un detail que j'ai loupé, mais ca commence a me taper sur les nerfs de chercher sans voir se que je fais faux.

Merci d'aider un attarder qu'y arrive meme plus a appliquer les regles qu'il as appris a 14ans.
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[invitef6a8dd1c]

Hmmm, tu ne crois pas que tu confonds un peu les multiplications avec les puissances ?

2ⁿ = 2*2*... *2 (n fois).
Si n=1, tu n'as qu'un terme, donc pas de multiplication, donc

2¹ = 2

Maintenant, une propriété des puissances est que 2ⁿ*2^m = 2^n+m.
Pour que ça reste valable avec m=0 (n+m=m), il faut donc que 2⁰ = 1

Plus rigoureusement, les fonctions de puissance sont définies à partir d'une exponentielle, dont la valeur en 0 vaut 1.
Pour tout réel strictement positif a, et pour tout réel x, tu as:
a^x = e^x*ln(a)

ln(a) étant un réel, si x vaut 0, x*ln(a) = 0, d'où le résultat.

Maintenant, il te reste à démontrer que e⁰ = 1

Geoffrey

[invite5e34a2b4]

Si j'ai bien compris : d'après toi : 3x2 = 2³, 4x2=2⁴ etc.
Tu vois donc bien que t'as oublié ce que c'était qu'une puissance. (Geof l'explique très bien dans le message précédent)

[invitea4b4a777]

Si j'ai bien compris : d'après toi : 3x2 = 2³, 4x2=2⁴ etc.
Tu vois donc bien que t'as oublié ce que c'était qu'une puissance. (Geof l'explique très bien dans le message précédent)

Non, ca j'ai bien compris. Ce que je comprend pas, c'est :

2 = 2¹
2x2 = 2²
2x2x2=2³
2x2x..xN=2^N

2x0 = 0
alors que 2⁰ = 1, c'est illogique, vu que 2x..xN = 2^N, donc 2⁰=0, pas 1 (et si je note 2⁰=0, c'est pas a cause de la puissance 0, mais a cause de rien x rien = rien)

Pour Geof, je suis sur que ta demonstration est correct, sauf que c'est trop complexe pour moi (ln(x), je connais pas). Moi et les math on a jamais été très copain. Mon cerveau c'est arrete a +,-,*,/. Le reste, c'est le brouillard. Je me dit que je devrais rependre mes etudes, en recommencant depuis le bas. Mais c'est pas facile de garder en memoire une gymnastique mathematique quant on fais de l'info tout la journée, et que les seuls calcul a faire c'est pour divisé la facture du repas entre collegue .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite36366388]

Bonjour

Il me semblait que e⁰ =1 est une convention

Ca s'explique dans le sens où c'est cohérent avec le reste (ouf!) mais ça ne se démontre pas.

[yat]

Le 1 est un peu implicite, dans la multiplication. Pour l'addition, en effet, si on ne met rien, on se retrouve avec zéro. Pour la multiplication, l'élément neutre c'est 1 :

0+3=3 et 1+3=4
mais
1*3=3 et 0*3=0

Pour faire encore plus simple, tu peux te dire que 2³ c'est 1*2*2*2, que 2¹ c'est 1*2, et que 2⁰ c'est juste 1...

Ou alors, pour revenir à ce que disait Geof (dans la partie qui n'impliquait pas le logarithme) :
4³*4²=(4*4*4)*(4*4)=4³⁺²
et 4⁰*4³=(4*4*4)=4³

En gros, dire que 4⁰ fait zéro, ça ne rimerait pas à grand chose, ça consisterait à multiplier par zéro sans raison.

[invitea4b4a777]

Bonjour

Il me semblait que e⁰ =1 est une convention

Ca s'explique dans le sens où c'est cohérent avec le reste (ouf!) mais ça ne se démontre pas.

A ok, pour moi ca va. Vu que de tout facon, j'ai deja l'habitude de voir des regles qui ne se demontre pas, donc ca me choque pas.

C'est donc une convention, comme le dit yat, parce que ca rime a rien de multiplier par 0. Et effectivement, je me rappel maintenant, que le neutre dans la multiplication, c'est 1, pas 0 (merci de me rafraichir la memoire, yat).

J'ai compris. Merci.

[invitef6a8dd1c]

Il me semblait que e⁰ =1 est une convention

Non, Vince, ce n'est pas qu'une convention.
Tu dois probablement avec l'"expression" 0⁰, qui n'est pas définie, et pour laquelle on utilise parfois la convention 0⁰=1 (prolongement en 0, de la propriété que x⁰ = 1 pour tout x strictement positif).

L'exponentielle, quant à elle, est parfaitement définie et continue sur R.

Geoffrey

[invite3d9f8ee1]

on peut voir le probleme differemment

2¹= 2 c'est ok pour tout le monde
2^-1 =1/2 c'est une définition donc pas de probleme

2¹*2^-1=2*1/2=1 c'est simple

or 2¹*2^-1=2^1-1=2⁰
donc 2⁰=1

[invitea4b4a777]

J'ai bien compris la demonstration de lyapounov, mais la question que je me pose maintenant, c'est comment je fais pour avoir la valeur 0 avec une puissance. Si x⁰ = y (en l'occurence 1), et que Y tend vers 0 quant la puissance devient negative, alors =0.

Parce que si le 0 existe, alors on doit pouvoir l'ecrire de plusieurs facon, y compris en puissance. Sinon, ca voudrais dire que les puissances ne reflet pas une realité. J'entend par la que les puissances, c'est une maniere plus simple d'ecrire les multiplications. Et comme en multiplication, je peux trouver 0, alors en puissance aussi, sinon, y aurais pas de equivalence entre les 2 maniere.

Je vais pt etre chercher trop loin, mais je pensait que les math etait le seul monde ou il n'y avais pas d'exception aux regles. Et si on peut pas ecrire 0 sous forme de puissance, alors comment ce fait-il que je peux ecrire 0 en mutlipliant (ABCx0=0) ????

Sinon, pour ma question de départ, j'ai tout compris. Je cherche la petite bete.

[yat]

pour écrire zéro avec des puissances, tu en as autant que tu veux : 0¹ 0² 0³...

[invitec4f8a2db]

Mon problème est quant un nombre est a la puissance 0, pourquoi le resultat est 1.
Si , alors normalement , mais , pas 1 .

ben en fait si g bien compris ce que tu veux savoir :
si tu divise 2^n par 2^n tu sais très bien que le résultat est 1
or une regle dit : 2^a/2^b = 2^(a-b)
donc 2^n/2^n =2^(n-n)=2^0

[invite5e34a2b4]

2⁰ = 1 est une CONVENTION !!!!!

Il n'y a rien à comprendre là-dedans. On a POSé : 2⁰=1, car ça permet de ne pas tomber sur des non-sens !!

De même 0⁰ = 1 !!!

[invitea4b4a777]

pour écrire zéro avec des puissances, tu en as autant que tu veux : 0¹ 0² 0³...

Je recritife, pour avoir comme resultat 0 avec des nombre a puissance, cad x^N=0, ou N = la puissance qui verifiera l'egalité d'avant.

On a POSé : 20=1, car ça permet de ne pas tomber sur des non-sens !!

Franchement, quant je regard la physique aujourd'hui, je me dit que ce qui est un non-sens, c'est croire que ce qu'on vois est la realité. Ce n'est pas parce que pour nous c'est un non-sens, que du point de vue physique ca l'ai. Enfin, je dit pas que dans le cas précis, c'est la regle. Mais je me fierait pas a ce que je croit pour etre sur de qqch en math ou en physique.

Einstein est tomber sur un non-sens avec sa theorie de la relativité (les fameuse singularité). Il as insinster, et finalement, on s'accord a dire que c'est un non-sens qui as un sens. C'est comme les trou noir de hawking qui sont des trou noir, mais qui rayonne. C'est aussi très tordu, mais plausible. Si en 1900, planck n'avais pas tenté de passer par dessus le non-sens de l'époque (qui voulais que les atomes emet de facon continue), ben on aurais pas avancer en 80ans. Et tu ne trouve pas que le principe d'incertitude de Einsenberg (mea culpa si j'ecrit faux) est un peu contre-nature.

Bon, vous me direz qu'on cherche un peu la petite bete avec ces histoire de puissance, mais j'aimerais vraiment etre sur de comprendre. Parce que si je comprend pas ca, comment pourais-je comprendre (ou etre sur de comprendre) des concept encore plus tordu comme la MQ, ou la theorie des cordes, etc... Et je repete que j'ai auncunement la prétention de revolutionné les maths, juste celle de vouloir vraiment comprendre (et pas simplement recité) leur language.

[yat]

Je recritife, pour avoir comme resultat 0 avec des nombre a puissance, cad x^N=0, ou N = la puissance qui verifiera l'egalité d'avant.

Ben... le zéro étant élément neutre, c'est quand même un cas particulier... avec l'équation 1/N=0, ça te choque aussi ?

Mais j'ai peut-être pas bien compris la question.

De toutes façons, pour moi n⁰=1, c'est pas plus une convention qu'une évidence. toute multiplication peut être précédée d'un 1*, ça ne change pas sa valeur. Quand on fait une somme, on additionne les termes en partant de zéro, et quand fait un produit multiplie les facteurs en partant de 1... il est donc naturel que n⁰=1, puisqu'on n'a rien multiplié (et surtout pas zéro)...

[invitef6a8dd1c]

2⁰ = 1 est une CONVENTION !!!!!

Il n'y a rien à comprendre là-dedans. On a POSé : 2⁰=1, car ça permet de ne pas tomber sur des non-sens !!

De même 0⁰ = 1 !!!

Désolé, mais NON: cf les messages qui précèdent le tien, on a diverses façons de montrer que 2⁰ = 1, sans le postuler.

Par ailleurs, 0⁰ est PARFOIS considéré comme valant 1, mais ce n'est pas toujours le cas.
Si tu considères f(x) = 0^x, f(0) = 0 pour tout x > 0, et on peut poser alors, pour assurer la continuité de la fonction en 0 f(0)=0.
Mais je le répète, 0⁰ n'est pas défini, pas plus que 0/0, par exemple. Tout ceci a déjà fait l'objet de discussions sur le forum.


Geoffrey

[invitea4b4a777]

Mais j'ai peut-être pas bien compris la question.

Je reformule. A quel puissance dois-je élevé un nombre N pour obtenir 0. J'entend par la que 1x0 = 0, donc il doit exister une puissance qui donne 0. Je prend l'analogie avec les puissance negative qui tendent le resultat vers 0. 2^-5 = 1/2⁵=1/32=0.031.... Donc plus la puissance devient negative, plus le resultat tendra vers 0. Donc si je continue, pour avoir un resultat de 0, il faudrais que j'elevé mon X a la puissance -. C'est un peu trop tordu, il me semble, a moins que ce soit tellement evident que j'arrive pas a le voir.

Mais je precise que l'objet de mon post était justement les nombres elevé a la puissance 0, qui a trouvé une réponse satisfesante de la part de lyapounov. La, je vais un peu plus loin (voir meme trop loin).

Par contre, je m'attendais pas a ce qu'un sujet qui me paraissait si simple devient si polemique (facon de parler). Parce que si en 3 demonstration on arrive pas a etre d'accord, ben mathematiquement, ca devient une polemique. Normalement, ca devrait etre clair, net et precis. Ce qui n'est pas le cas, et ca me fais sourire, moi qui pensait etre le dernier des arbuti en se qui concerne les maths, ca me rassure de voir que c'est pas si clair que ca.

[yat]

Je reformule. A quel puissance dois-je élevé un nombre N pour obtenir 0. J'entend par la que 1x0 = 0, donc il doit exister une puissance qui donne 0.

Bah oui, mais dans 1*0, il y a un zéro... pour qu'un produit donne zéro, il faut nécessairement qu'un des facteurs au moins soit nul. Si c'est x à la puissance n, ça me parait difficile si x n'est pas nul. Ce n'est pas en enlevant tous les facteurs qu'il va miraculeusement y avoir un zéro qui va venir s'insérer dans le produit.

Je prend l'analogie avec les puissance negative qui tendent le resultat vers 0. 2^-5 = 1/2⁵=1/32=0.031.... Donc plus la puissance devient negative, plus le resultat tendra vers 0. Donc si je continue, pour avoir un resultat de 0, il faudrais que j'elevé mon X a la puissance -. C'est un peu trop tordu, il me semble, a moins que ce soit tellement evident que j'arrive pas a le voir.

En effet j'ai du mal à comprendre ce qui te pose problème là-dedans.

Par contre, je m'attendais pas a ce qu'un sujet qui me paraissait si simple devient si polemique (facon de parler). Parce que si en 3 demonstration on arrive pas a etre d'accord, ben mathematiquement, ca devient une polemique. Normalement, ca devrait etre clair, net et precis. Ce qui n'est pas le cas, et ca me fais sourire, moi qui pensait etre le dernier des arbuti en se qui concerne les maths, ca me rassure de voir que c'est pas si clair que ca.

Je pense que tout le monde est d'accord sur le fait que n⁰=1... si c'est évident pour certains et que c'est une convention pour d'autres, c'est un autre problème. Personnellement je pense qu'il y a de nombreuses manières d'y arriver ou de le montrer, puisque tout le monde y va de sa petite explication. C'est bien la preuve que tout converge !

[invitea4b4a777]

En fait, mon point de départ est le suivant :

L'ecriture sous forme de puissance est une maniere simplifié pour la multiplication. Au lieu d'ecrire 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2, je peux ecrire 2¹⁰.

Je continue mon raisonnement de simplification.

Comment puis-je simplifié la mulitplication 2x0 =0 sous forme de puissance.

C'est simplement la mon problème. Comment on simplifie qqch qui se multiple par 0 (zero, donc rien). Y doit bien y avoir une facon, sinon, l'ecriture sous forme de puissance n'est pas generaliste, et donc elle ne s'applique pas forcement a chaque fois. Parce que j'ai appris, pt etre faux, que la multiplication et les puissance sont equivalent. Mais quant je cherche a ecrire 2x0 en puissance, ben j'y arrive pas. Et c'est illogique pour mon esprit qui croit que les maths sont sensé etre logique.

[yat]

En fait, mon point de départ est le suivant :

L'ecriture sous forme de puissance est une maniere simplifié pour la multiplication. Au lieu d'ecrire 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2, je peux ecrire 2¹⁰.

Je continue mon raisonnement de simplification.

Comment puis-je simplifié la mulitplication 2x0 =0 sous forme de puissance.

C'est simplement la mon problème. Comment on simplifie qqch qui se multiple par 0 (zero, donc rien). Y doit bien y avoir une facon, sinon, l'ecriture sous forme de puissance n'est pas generaliste, et donc elle ne s'applique pas forcement a chaque fois. Parce que j'ai appris, pt etre faux, que la multiplication et les puissance sont equivalent. Mais quant je cherche a ecrire 2x0 en puissance, ben j'y arrive pas. Et c'est illogique pour mon esprit qui croit que les maths sont sensé etre logique.

si tu veux écrire 2*0=0 avec des puissances, tu n'as pas le choix, c'est 2¹*0=0.

Il n'y a simplification que quand il y a quelque chose à simplifier : une puissance est la simplification d'un produit dont tous les facteurs sont égaux. A ma connaissance, 2 est différent de zéro, donc soit tu écris 2*2=2², soit tu écris 0*0=0², mais 2*0 ne peut pas se simplifier avec des puissances.

Si tu ne vois pas le truc, dis-toi que la puissance est à la multiplication ce que la multiplication est à la somme : Si 2*2*2 se simplifie en 2³, 2+2+2 se simplifie en 2*3... tu voudrais aussi simplifier 2+3=5 avec une multiplication ?

[invite00411460]

Non, ca j'ai bien compris. Ce que je comprend pas, c'est :

2 = 2¹
2x2 = 2²
2x2x2=2³
2x2x..xN=2^N

2x0 = 0
alors que 2⁰ = 1, c'est illogique, vu que 2x..xN = 2^N, donc 2⁰=0, pas 1 (et si je note 2⁰=0, c'est pas a cause de la puissance 0, mais a cause de rien x rien = rien)

mais ya un truc incorrect avec ton raisonnement...
je vois pas le rapport entre 2x0 et 2⁰...
ya de graves problèmes de notation dans ton raisonnement...

c'est 2x2x...x2 et pas 2x2x...xN de même que 2x0 ne correspond pas à 2⁰

enfin relis toi

[pallas]

attention tu écris 1x2 = 2^1 ce qui n'est pas la définition ! que fais pour toi 2^3 (deux exposant 3 ) je crains le pire !!!Non ce n'est pas 3x2 mais 2x2x2 =8

Pour comprendre 2^0 = 1 il suffit de dire que 2^3= 2x2x2= 8 puis 2^2= 2x2=4 donc on passe de l'un à l'autre en divisant par 2 donc 2^1= 2 ( (2^2) :2) donc 2^0 = 1 et 2^(-1) = 1/2 etc .. Simple ...
A +

[invite5f928e92]

Ah c'est rigolo toute ceete controverse sur 2 puissance 0 (heu comment vous faites pour écrire des math ici).

Je vais mettre mon grain de sel tiens:

tout d'abord: x puissance 0 est une convention en collège jusqu'en première.

Ensuite, ohh miracle on voit la fonction exponentielle!

Petite précision 0 puissance 0 est une indéterminé!

Autrement, si je comprends bien Underinet voudrait comprendre pourquoi on ne peut pas mettre 2x0 sous forme d'une puissance tout comme 2x2x2= 2 puissance 3.

Bah une puissance ne décrit pas toutes les multiplications, 2x0 n'est pas une puissance d'un nombre, il n'y a pas equivalence entre la multiplication et les puissances d'un seul terme. Sinon,on aurait même plus zero et ni les négatifs (ce serait bien triste).

J.C.

[leg]

2⁰ = 1 est une CONVENTION !!!!!

Il n'y a rien à comprendre là-dedans. On a POSé : 2⁰=1, car ça permet de ne pas tomber sur des non-sens !!

De même 0⁰ = 1 !!!

le post 9 de lyapounov démontre tres bien l'explication et l'égalité qui s'en suit
a mon avis ce n'est donc pas une convention..

[shokin]

Tu ne peux pas simplifier 2*0 en une simple puissance car tu as deux facteurs distincts. Alors que dans par exemple 2*2*2, tu as toujours le même facteur, à savoir 2, tu peux donc écrire 2*2*2==2^3=8.

Pourquoi 2^0, pourquoi m^0 si m est inégal à 0 ?

Tu sais que a^m*a^n=a^(m+n) avec m et n, nombres réels.

Donc a^m/a^n=a^(m-n)

Si m=n, tu as :

a^m/a^m=a^(m-m)

1=a^0 car a/a=1 pour tout a non nul et car m-m=0 pour tout m.

Mais lyapounov en a déjà montré un bon exemple.

Pour le cas 0^0, je laisse la parole à d'autres qui s'y connaissent.

Shokin

[inviteab2b41c6]

Je n'ai pas la prétention de dire que je ,m'y connais mais:

x^0 pour x non nul, vaut 1 par convention, et extension de la théorie des groupes.
Quand on a un groupe monogene mettons <x>, il est égal a l'ensemble des puissances entieres de x, 1 inclus puisque c'est un groupe. On pose donc par cohérence que 1=x^0.


Pour le reste, montrer que 0^0 n'existe pas, revient en fait à étudier la limite de x^y lorsque (x,y) tend vers 0.

Suivant la direction (0,x) on trouve 0 tout le temps, il n'y a pas de probleme.(pour tout x non nul)
Suivant la direction (x,0) on trouve 1 pour tout x non nul.

Et donc la limite n'existe en fait pas, donc on ne peut pas prolonger (x,y)->x^y par continuité en 0.

Par contre lorsque l'on travaille sur des polynomes, en général on pose que 0^0=1.
Notamment dans certaines formules, comme celle de Taylor...