DM de math sur les bases et dimensions

[invited778ab05]

Salut! J'ai un DM de math sur les espaces vectoriels et j'ai du mal à la faire...
Soit F le sev de R5 engendré par les vecteurs e1=(1,0,1,-1,0),e2=(2,1,2,1,1),e3=(3,1,2, 0,1).Soit G le sev de R5 engendré par les vecteurs e4=(1,1,3,-1,-1),e5=(2,-1,-4,4,-1),e6=(0,1,2,0,1) et e7=(1,-2,-3,-1,-2).
1)Une base de F j'ai trouvé (e1,e2,e3) et une base de G ; (e4,e5,e6,e7)
2)déterminer une base de F+G et donner une équation de F+G? Est-ce que je dois résoudre le système "lambda"i*ei=0 (c'est a dire un système de 5équation a 7inconnues???)
3)Déterminer des équations de F et des équations de G ??
4)Déterminer une base de F "inter" G ?
Pour les questions 3 et 4 je vois pas comment faire et ceci n'est que le premier exercice!! un petit indice svp ou je vais devenir comme lui
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[invite57a1e779]

1)Une base de F j'ai trouvé (e1,e2,e3) et une base de G ; (e4,e5,e6,e7)
2)déterminer une base de F+G et donner une équation de F+G? Est-ce que je dois résoudre le système "lambda"i*ei=0 (c'est a dire un système de 5équation a 7inconnues???)

Ta réponse à la question 1 montre que est de dimension 4, donc est un sous-espace de qui contient . Il est
– soit de dimension 4, et ;
– soit de dimension 5, et .
Come est engendré par , il te suffit de déterminer le rang de cette famille.

3)Déterminer des équations de F et des équations de G ??

Les équations sont des formes linéaires qui s'annulent sur le sous-espace considéré, ou . Pour cela il faut et il suffit qu'elles s'annulent sur une base (que tu as déterminée à la question 1).

4)Déterminer une base de F "inter" G ?

A partir des équations et et , tu peux écrire des équations de qui te permettent de déterminer une famille génératice, puis une base de .

[invited778ab05]

Je sais que le rang de (e1,e2,e3,e3,e4,e5,e6,e7) c'est la dimension de Vect (e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7) d'après mon cours.Est ce que c'est donc la dimension de F+G?Si oui ,comment je fais pour la déterminer?

[invite57a1e779]

Je sais que le rang de (e1,e2,e3,e3,e4,e5,e6,e7) c'est la dimension de Vect (e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7) d'après mon cours.Est ce que c'est donc la dimension de F+G?Si oui ,comment je fais pour la déterminer?

Par définition, est l'ensemble des avec et .
Il est immédiat que en est une famille génératice, dont on peut déterminer le rang, par exemple par la méthode du pivot de Gauss.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited778ab05]

Ici, c'est donc un système de 5 équations à 7 inconnues qu'il faut que je resolve?

[invite57a1e779]

Ici, c'est donc un système de 5 équations à 7 inconnues qu'il faut que je resolve?

La famille , constituée de 7 vecteurs d'un espace de dimension 5, est nécessairement liée, je ne vois pas ce que peut apporter la résolution de .
Il suffit de calculer le rang de cette famille en utilisant la matrice qui la représente dans la base canonique.

[invited778ab05]

On vient juste de commencer les matrices et les rangs en cours et je suis un peu (beaucoup) perdue! Un etudiant en master m'a dit de resoudre le systeme dont je parlais!Je pense passé aux autres questions et je reviendrai sur celle la si j'ai le temps! mais merci quand même pour tes indications !!

[invited778ab05]

J'ai une nouvelle question sur un autre exercice...
Soit a un nombre réel et soit F le sev de R4 engendré par les vecteurs (1,a,2,-12),(-2,3,a,1),(-1,0,2,-1)et(2,-1,a,1)
1)Pour quelles valeurs de a a-t-on F=R4 ??
Je vois pas comment faire...un petit indice m'aiderais peut être!!

[invite152a412d]

Tu sais déja que F est engendré par les 4 vecteurs qui te sont donnés.Si ces quatres vecteurs sont libres la dimension du sev F vaut 4 donc F=R4.Donc il te suffit de trouver pour quelles valeurs de a tu as les 4 vecteurs qui sont libres en résolvant un système d'équation et en discutant en fonction de a.

Par exemple si on note e1,e2,e3,e4 les vecteurs n prend la combinaison linéaire suivante:
l1.e1+l2.e2+l3.e3+l4.e4=0 et donc ces 4 vecteurs sont libre si et seulment si l1=l2=l3=l4=0.

Il y a aussi une autre methode si vous avez vu les déterminants, c'est de metre les vecteurs en colonne dans une matrice et de calculer le déterminant et donc les vecteurs sont libres quand le déterminantest different de zero (ou vaut zéro je ne sais plus exactement....)

[invited778ab05]

Bonjour! Alors j'ai résolu mon systeme et j'arrive à :
-12L1+L2 - L3 +L4=0
-23L2-13L3 +25L4=0
(-29a+39)L3+(4a-98)L4=0
(-112a3+100a²-102a-552)L4=0
Si je me suis pas trompé, les valeurs de a pour lesquelles on a F=R4 sont les valeurs pour lesquelles le polynome (-112a3+100a²-102a-552) s'annule?Mais si c'est sa je sais pas résoudre une équation avec un polynome de degré 3!je sais juste qu'il existe 3 racines! je fais comment pour les determiner?

[inviteaf1870ed]

Je pense que tes équations sont fausses, si je ne me trompe pas, on trouve avec tes notations :
(1) L1-2L2-L3+2L4=0
(2) aL1+3L2 - L4=0
(3) 2L1+aL2+2L3+aL4=0
(4)-12L1+L2-L3+L4=0

On cherche les valeurs de a pour que ce système n'admette que L1=L2=L3=L4=0 comme solution.

En soustrayant (4) de (1) on trouve 13L1-3L2+L4=0 (5)
Puis je fais (5)+(2) et je trouve (13+a)L1=0.

Si a est différent de -13, la seule solution est L1=0. Puis L4=3L2.

En reportant dans les équations restantes je trouve que les valeurs interdites pour a sont -13 et -2.

[invited778ab05]

En effet, je sais pas ou je suis allé chercher ça mais je me suis cassé la tête pour rien pour trouver un truc faux! Comme vous avez fait ericcc c'est beaucoup plus simple et c'est parfait! MERCI BEAUCOUP

[invited778ab05]

J'ai un autre exercice et j'ai aussi un peu de mal..le voila:

Soit dans R5 le sev F d'équations linéaires:
x1 + x2 + 3x3 + x4 + x5=0
2x1 + 2x2 + 6x3 - x4 - x5=0
3x1 - x2 + 2x3 + 4x4 + 3x5=0
Il faut que je détermine la dimension de F et une base de F! mais je ne vois pas du tout comment partir...

[invite57a1e779]

Il suffit de résoudre le système pour obtenir une famille génératrice de l'espace de ses solutions, puis de vérifier que cette famille est libre...

[invited778ab05]

D'accord merci!! je crois que c'est bon, je vais y arriver!!merci

[invited778ab05]

Salut!!
Je suis revenue au premier exercice :
Soit F le sev de R5 engendré par les vecteurs e1=(1,0,1,-1,0),e2=(2,1,2,1,1),e3=(3,1,2, 0,1). Soit G le sev de R5 engendré par les vecteurs e4=(1,1,3,-1,-1),e5=(2,-1,-4,4,-1),e6=(0,1,2,0,1) et e7=(1,-2,-3,-1,-2).

2)déterminer une base de F+G et donner une équation de F+G?

J'ai toujours pas compris comment je pouvais faire ça sachant que j'ai jamais fait un exercice d'espace vectoriel à l'aide de matrice!! y'aurais pas un autre moyen?