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Question toute bête produit scalaire et vectoriel



  1. #1
    RVmappeurCS

    Question toute bête produit scalaire et vectoriel


    ------

    Bonjour.
    J'ai une question toute simple sur le produit scalaire et vectoriel.
    Soient trois vecteurs : A : (xA,yA,zA), B : (xB,yB,zB) et X : (x,y,z)
    Imaginons que l'on ait A.X=B, quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?
    Imaginons que l'on ait A^X=B quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?
    Merci beaucoup

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    rajamia

    Re : Question toute bête produit scalaire et vectoriel

    Citation Envoyé par RVmappeurCS Voir le message
    Bonjour.
    J'ai une question toute simple sur le produit scalaire et vectoriel.
    Soient trois vecteurs : A : (xA,yA,zA), B : (xB,yB,zB) et X : (x,y,z)
    Imaginons que l'on ait A.X=B, quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?
    bonjour,

    d'abord et je pense que tu le sais déjà, le produit scalaire est un nombre, donc
    A.X=B, est faux comme écriture car une est un nombre et l'autre est un vecteur.

    Imaginons que l'on ait A^X=B quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?
    tu n'as que calculer le produit vectoriel et tu auras un système à résoudre avec trois équations et trois inconnus.

    bon calcul

  4. #3
    God's Breath

    Re : Question toute bête produit scalaire et vectoriel

    Citation Envoyé par RVmappeurCS Voir le message
    J'ai une question toute simple sur le produit scalaire et vectoriel.
    Soient trois vecteurs : A : (xA,yA,zA), B : (xB,yB,zB) et X : (x,y,z)
    Imaginons que l'on ait A^X=B quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?
    Il faut d'abord remarquer que le produit vectoriel est orthogonal à (et à ) : si n'est pas orthogonal à , l'équation n'a pas de solution.

    Si , alors pour tout : si , tout est solution ; si , l'équation n'a pas de solution.

    Si , alors si et seulement si et sont colinéaires : les solutions de l'équation sont les avec réel quelconque.

    On suppose désormais et orthogonaux et non nuls.

    Supposons connaître une solution de l'équation, c'est-à-dire tel que .
    L'équation s'écrit , elle est équivalente à qui a pour solutions les tels que et soient colinéaires.
    Les solutions sont donc les , avec réel quelconque.

    Il reste donc à trouver une solution particulière , qui doit être orthogonale à .
    On essaie de trouver cette solution particulière également orthogonale à , c'est-à-dire colinéaire à , donc de la forme , avec réel.
    Or est solution de l'équation si et seulement si , ce que la formule du double produit vectoriel permet de réécrire en :
    .

    Comme et ( et sont orthogonaux et non nuls), il y a une unique valeur de qui convient : .

    Les solutions, dans ce cas, sont dont les vecteurs avec réel quelconque.

  5. #4
    RVmappeurCS

    Re : Question toute bête produit scalaire et vectoriel

    Ouah merci beaucoup .
    Ce n'était pas aussi simple que je le pensais, mais avec ton explication c'est clair.
    Pour le produit scalaire je voulais dire A.X=b, quelles sont les formes des solutions possibles ?
    Merci beaucoup.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    God's Breath

    Re : Question toute bête produit scalaire et vectoriel

    Citation Envoyé par RVmappeurCS Voir le message
    Pour le produit scalaire je voulais dire A.X=b, quelles sont les formes des solutions possibles ?
    Même technique :
    Si , alors :
    – si , tout vecteur est solution ;
    – si , l'équation n'admet aucune solution.

    On suppose désormais non nul.
    On commence par chercher une solution particulière colinéaire à .
    On a , donc est solution si, et seulement si, , c'est-à-dire .

    Alors est équivalent à , c'est-à-dire et orthogonaux.
    Les solutions sont donc avec vecteur quelconque orthogonal à .

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