Variable aléatoire ^^

[Armellle]

Bon je poste ca si jamais quelqu'un a une idée .... ca m'énerve de pas trouver.
Je suis complétement bloqué sur la question 2, donc si une bonne ame passe par là, je suis preneuse de toute idée novatrice.

Merci beaucoup


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[akabus47]

Bonjour

Pour la question 1) il me semble qu'il existe une demonstration qui se base sur l'inegalité de Markov , donc ca tourne un peu en rond , je sais pas trop !

Mais ton inegalité est directement l'inegalité de Tchebyshev , tu peut peut-etre le dire directement .

Pour la 2 ) , tu as en utilisant Markov a la variable aleatoire ( X - Mu )² pour tout réél (a+b)² :

P [ (X - μ)² >= (a+b)² ] <= E[ (X - μ)² ] / (a+b)²

mais comme (X − μ)2  >= (a+b)² equivaut a | X− μ|  >= (a+b) la formule peut etre reecrite :

P [ (X - μ) >= (a+b) ] <= E[ (X - μ)² ] / (a+b)²

Or comme la fonction de repartition est croissante , on a


P [ (X - μ) >= a ] <= P [ (X - μ) >= (a+b) ] <= E[ (X - μ)² ] / (a+b)²

Soit

P [ (X - μ) >= a ] <= Sigma² / (a+b)²

D'ou forcement

P [ (X - μ) >= a ] <= ( Sigma² + b²) / (a+b)²

[Armellle]

Merci beaucoup, pour la 1ère, c'est effectivement l'inegalité de markov, aux valeurs absolues près.

Pour la 2ème, ca m'a bien aidé, merci.

Je m'attelle à la 3eme la du coup (sans succès pour l'instant ^^)

[Garf]

L'indication d'akabus est fausse.


"Or comme la fonction de repartition est croissante , on a "...

La fonction de répartition, c'est P [ (X - μ) <= (a+b) ]. Dans l'autre sens, l'inégalité. Une vérification élémentaire permettait de détecter l'erreur : si la formule P [ (X - μ) >= a ] <= Sigma² / (a+b)² était vraie pour tout réel positif b, il suffirait de prendre b arbitrairement grand, puis de répéter l'opération avec -X, pour voir que X est constante quelque soit X dans L2. Ce qui est bien évidemment absurde.

En fait, la méthode est plus simple.

P [ (X - μ) >= a ] = P [ (X +b - μ) >= a + b ] <= P [ (X +b - μ)^2 >= (a + b)^2 ]
L'inégalité de Markov permet de conclure.

Au passage, l'hypothèse sur le signe de b est inutile (ce qui est visible, étant donné le résultat).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armellle]

merci beaucoup,je suis entrain de me plonger dans vos explications