un développement limité avec des matrices

[invite59a8190a]

Bonjour,

Dans une question on me demande un développement limité que je n'arrive pas à justifier.

Pour toute matrice M de Mn(R) et pour tout s dans un voisinage de 0, montrer que :

exp(sM) = In + sM + O(s²)

Merci à ceux qui pourront m'aider.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Dans une question on me demande un développement limité que je n'arrive pas à justifier.

Pour toute matrice M de Mn(R) et pour tout s dans un voisinage de 0, montrer que :

exp(sM) = In + sM + O(s2)

Merci à ceux qui pourront m'aider.

On a, par définition de l'exponentielle, donc, pour une norme matricielle quelconque :

[invitec053041c]

On a, par définition de l'exponentielle, donc, pour une norme matricielle quelconque

Multiplicative .

[invite57a1e779]

Multiplicative .

Petit problème de vocabulaire :

Une norme matricielle est, par définition, une norme d'algèbre sur , donc sous-multiplicative, i.e. pour toutes matrices et .

Une norme de matrice est une norme sur l'espace vectoriel , non nécessairement sous-multiplicative, et la multiplication des matrices, application bilinéaire sur un espace de dimension finie, est alors continue, donc il existe un réel strictement positif tel que: pour toutes matrices et .

La confusion entre les deux appellations est malheureusement courante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Merci de cette explication God's Breath !