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un développement limité avec des matrices



  1. #1
    jibounet

    un développement limité avec des matrices


    ------

    Bonjour,

    Dans une question on me demande un développement limité que je n'arrive pas à justifier.

    Pour toute matrice M de Mn(R) et pour tout s dans un voisinage de 0, montrer que :

    exp(sM) = In + sM + O(s²)

    Merci à ceux qui pourront m'aider.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : un développement limité avec des matrices

    Citation Envoyé par jibounet Voir le message
    Bonjour,

    Dans une question on me demande un développement limité que je n'arrive pas à justifier.

    Pour toute matrice M de Mn(R) et pour tout s dans un voisinage de 0, montrer que :

    exp(sM) = In + sM + O(s2)

    Merci à ceux qui pourront m'aider.
    On a, par définition de l'exponentielle, donc, pour une norme matricielle quelconque :

  4. #3
    Ledescat

    Re : un développement limité avec des matrices

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    On a, par définition de l'exponentielle, donc, pour une norme matricielle quelconque
    Multiplicative .
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    God's Breath

    Re : un développement limité avec des matrices

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Multiplicative .
    Petit problème de vocabulaire :

    Une norme matricielle est, par définition, une norme d'algèbre sur , donc sous-multiplicative, i.e. pour toutes matrices et .

    Une norme de matrice est une norme sur l'espace vectoriel , non nécessairement sous-multiplicative, et la multiplication des matrices, application bilinéaire sur un espace de dimension finie, est alors continue, donc il existe un réel strictement positif tel que: pour toutes matrices et .

    La confusion entre les deux appellations est malheureusement courante.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ledescat

    Re : un développement limité avec des matrices

    Merci de cette explication God's Breath !
    Cogito ergo sum.

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