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Matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence



  1. #1
    Itchyban

    Matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence


    ------

    Bonjour,

    j'étudie une matrice tridiagonales, dont les termes de la diagonale principale sont "a", les termes de la diagonale au dessus sont "b" et les termes de la diagonale du dessous sont "c".
    (a,b,c) sont dans R^3 et b et c sont différents de 0.

    En étudiant son déterminant, j'aboutis à une relation de récurrence :

    Un = (lambda - a)*Un-1 - bc*Un-2

    que j'identifie être une suite récurrente linéaire du type Lucas.

    On me demande de prouver que le discriminant du polynome caractéristique de cette suite est non nul.
    Discriminant = (lambda - a)^2 - 4bc
    Mais je ne vois vraiment pas comment monter ça.

    De plus, on me demande de prouver que U0 = 0 (ça d'accord...) et que :
    Un+1 = 0 (ça... je ne vois pas non plus pourquoi).

    Si quelqu'un a une idée, je serais vraiment content qu'il m'aide !
    Je vous remercie d'avance.

    -----

  2. #2
    ericcc

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    C'est quoi lambda ?

  3. #3
    Itchyban

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    C'est quoi lambda ?
    lambda correspond aux valeurs propres.
    Désolé pour l'oubli (c'est l'habitude de les appeler comme ça).

  4. #4
    ericcc

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Tu cherches en fait les valeurs propres, pas le déterminant de cette matrice. Peut être as tu comme hypothèse que b et c sont de signes opposés ?
    Sinon le résultat me parait faux.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Itchyban

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Tu cherches en fait les valeurs propres, pas le déterminant de cette matrice. Peut être as tu comme hypothèse que b et c sont de signes opposés ?
    Sinon le résultat me parait faux.
    D'abord, merci pour ta réponse.

    Oui, c'est bien les valeurs propres que je cherche et les vecteurs propres au final. Mais c'est pour ça que j'ai besoin de calculer le determinant.
    Je n'ai pas de condition sur le signe de a et b, c'est justement ce qui m'embête, parce que sinon c'est vrai que le résultat serait évident.

    Et pour Un+1 = 0 ? Tu aurais une idée ?

  7. #6
    ericcc

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Non et U1=a qui est différent de 0.

    Le polynôme caractéristique de la suite est (j'utilise L plutot que lambda)
    P(L)=L²-2aL+a²-4bc

    Le delta de ce trinôme est 16bc qui n'est jamais nul et qui n'est négatif que si b et c sont de signe opposés. Dans ce cas le trinôme est du signe de a²-4bc. Sinon il s'annule en deux valeurs.

    Tu es sur de ton énoncé ?

  8. #7
    Itchyban

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Pour l'énoncé, je ne peux pas dire que j'en suis sûr à 100%, les profs sont humains alors il y a toujours des risques d'erreur. Mais il y a déjà eu des erratum sur d'autres questions, pas sur celle-ci... alors je ne sais pas.

    Par contre, je n'ai pas compris comment tu trouvais un polynome caractéristique différent du mien pour la suite. Parce que celui que tu trouve correspond au discriminant du polynome que je trouve...

    Pourrais-tu m'expliquer s'il te plait ?

    Merci.

  9. #8
    God's Breath

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Je note la matrice carrée, d'ordre , dont tous les éléments sont nuls sauf :
    – ceux de la diagonale principale qui valent tous ;
    – ceux de la sur-diagonale qui valent tous ;
    – ceux de la sous-diagonale qui valent tous .

    On note , et tu as montré la relation de récurrence : .

    On calcule facilement : et .
    En écrivant formellement la relation de récurrence pour , il vient : ,
    et l'on voit que l'on peut poser de facçon à ce que la relation soit encore satisfaite.

    Ensuite, par définition du polynôme caractéristique, il me semble que est valeur propre de si, et seulement si, , non ?

  10. #9
    Itchyban

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Je ne vois pas vraiment comment trouver U1 = (lambda - a) et U2 = (lambda - a)U1 - bcU0.
    Après, pour que la relation de récurrence soit vrai, tu as U0 = 1 mais çela n'entrerait-il pas en contradiction avec la définition même de la suite Un ?
    det(A0 - lambda*I0) = 0 non ? Donc U0 = 0 ?

    Ensuite, oui je suis d'accord avec la définition que tu donnes avec la valeur propre, on peut meme dire :

    "Une des propriétés du déterminant est d'être nul si et seulement si le noyau de l'endomorphisme associé est non réduit au vecteur nul. Cela signifie que λ est racine du polynôme caractéristique si et seulement si le noyau de u - λ.Id est non réduit au vecteur nul, ce qui est une condition nécessaire et suffisante pour que λ soit une valeur propre. "

    Mais je ne vois pas trop ce que ça veut dire... Ah là là, moi et les maths... dur !

    En tout cas merci de tenter de m'aider !

  11. #10
    God's Breath

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Citation Envoyé par Itchyban Voir le message
    Je ne vois pas vraiment comment trouver U1 = (lambda - a) et U2 = (lambda - a)U1 - bcU0.
    Calcul d'un déterminant d'ordre 1 :

    Calcul d'un déterminant d'ordre 2 :
    Citation Envoyé par Itchyban Voir le message
    Après, pour que la relation de récurrence soit vrai, tu as U0 = 1 mais çela n'entrerait-il pas en contradiction avec la définition même de la suite Un ?
    det(A0 - lambda*I0) = 0 non ? Donc U0 = 0 ?
    C'est peut-être un peu difficile à expliquer mais le déterminant d'une matrice à 0 lignes et 0 colonnes vaut nécessairement 1.
    Dernière modification par God's Breath ; 09/04/2008 à 20h42.

  12. #11
    Itchyban

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    C'est peut-être un peu difficile à expliquer mais le déterminant d'une matrice à 0 lignes et 0 colonnes vaut nécessairement 1.
    Pourtant quand je rentre dans scilab l'instruction :
    det(0)
    il me renvoit 0...

  13. #12
    God's Breath

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Citation Envoyé par Itchyban Voir le message
    Pourtant quand je rentre dans scilab l'instruction :
    det(0)
    il me renvoit 0...
    Je ne connais pas scilab, mais det(0) est-elle une instruction qui demande :
    – le déterminant d'une matrice à 0 ligne et 0 colonne, donc sans aucun élément,
    – ou le déterminant d'une matrice à 1 ligne et 1 colonne, dont l'unique élément est nul ?

    Dans le premier cas, on attend la réponse 1, dans le second la réponse 0.

  14. #13
    ericcc

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Je pense que les notations sont assez confusantes, je propose de noter, en posant L au lieu de lambda

    *comme God's Breath An la matrice tridiagonale de dimension n
    *Pn(L) le polynome caractéristique de la matrice, soit Det (L*In-An)
    *Ln,i les solutions de l'équation caractéristique, autrement dit les racines de Pn(L)

    On a alors P0(L)=1, P1(L)=L-a et la relation de récurrence, donc L1,1=a

    Pn(L)=Pn-1(L)*(L-a)-bc*Pn-2(L)

    C'est meiux, non ?

  15. #14
    God's Breath

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Je pense que les notations sont assez confusantes, je propose de noter, en posant L au lieu de lambda

    *comme God's Breath An la matrice tridiagonale de dimension n
    *Pn(L) le polynome caractéristique de la matrice, soit Det (L*In-An)
    *Ln,i les solutions de l'équation caractéristique, autrement dit les racines de Pn(L)

    On a alors P0(L)=1, P1(L)=L-a et la relation de récurrence, donc L1,1=a

    Pn(L)=Pn-1(L)*(L-a)-bc*Pn-2(L)

    C'est meiux, non ?
    Cela revient à appeler le polynôme caractéristique, au lieu de , ce qui est certainement plus agréable, et d'indiquer explicitement qu'il dépend de sous la forme , ce qui est un avantage assez mince si Itchyban s'est habitué aux notations de son problème.

    Je reviens à la question initiale, avec les notations initiales, à propos de la récurrence , linéaire, de polynôme caractéristique dont le discriminant est .

    Si ce discriminant est nul, admet une racine double , et les suites qui satisfont la relation de récurrence sont de la forme , avec :
    , donc et pour tout .

    Par suite, on a valeur propre de si et seulement si , soit (et ), ce qui conduit, du fait que , à .

    Par contraposition .

  16. #15
    rhomuald

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Je remonte ce topic car je ne suis pas sûr d'avoir bien saisi cette remarque de GB:

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    C'est peut-être un peu difficile à expliquer mais le déterminant d'une matrice à 0 lignes et 0 colonnes vaut nécessairement 1.
    Est-ce que ça découle de la convention "l'ensemble vide est libre"?

  17. #16
    God's Breath

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Une matrice à 0 ligne et 0 colonne représente un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 0, donc réduit à .
    L'ensemble des endomorphismes du singleton est limité à un seul élément, l'application , c'est-à-dire l'identité, qui est inversible, et l'espace vectoriel des matrices à 0 ligne et 0 colonne est réduit à la matrice unité d'ordre 0, dont le déterminant est 1.

    Une autre façon d'aborder la question est d'utiliser , et de regarder ce que donne cette formule pour .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  18. #17
    rhomuald

    Re : Matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    ah oui merci,

    ta première justification ne découle d'aucune convention, en revanche pour la seconde, il me semble que si, il faut utiliser le fait que le produit vide vaut 1.

  19. #18
    NicoEnac

    Re : matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    Citation Envoyé par Itchyban Voir le message
    Pourtant quand je rentre dans scilab l'instruction :
    det(0)
    il me renvoit 0...
    Le problème, c'est que det(0) ne donne pas la réponse à det(ensemble vide). Car "0" est considéré par scilab comme une matrice 1x1 (un scalaire donc) et pas comme l'ensemble vide. Peut-être faudrait-il essayer det([]).

    Edit : après vérification, c'est bien "det([])" qu'il faut entrer. La réponse est ........... 1 !
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  20. #19
    Arias

    Re : Matrice tridiagonale, discriminant polynome caractéristique d'une relation récurrence

    En fait Un+1 est différent de 0 . Pour trouver le spectre d'une telle matrice il te faut faire une récurences sur les xi coordonnées de x un vecteur propre associé à une valeur propre lambda et là tu pourras utiliser que x0 et xn+1 sont nuls .

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