sous-matrices principales de la transposée d´une matrice

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´aimerais savoir s´il y a moyen de prouver que si une matrice carrée A est telle que toutes ses matrices principales sont inversibles, alors, les matrices principales de sa transposée sont aussi inversibles.

La raison de cette question est l´exo suivant:

Soit A une matrice dont toutes les sous-matrices principales sont inversibles. Montrer qu´il existe un unique couple de matrices (B,C) tel aue A = BC avec B triangulaire inférieure et C triangulaire supérieure á diagonale unité.

On reconnait la similitude avec le théorème sur la factorisation LU, sauf que là, c´est la matrice supérieure qui a des coefficients diagonaux égaux à 1.

Donc mon idée est la suivante:
Si j´arrive à prouver que la transposée ^tA de A a aussi des sous-matrices prinicipales inversibles, alors le théorème sur la factorisation LU s´applique et j´écris: ^tA = LU, L étant triangulaire inférieure et á coeff unité et U triangulaire sup. Je peux alors en déduire:

A = ^tU^tL

En posant B = ^tU et C = ^tL j´ai répondu à la question, mais justement ce qu´il me manque c´est le truc avec les matrices principales.

Quelqu´un a-t-il une idée?

merci d´avance

christophe
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[invite35452583]

Si mes souvenirs de ce que sont les matrices principales sont bons alors celles de la transposée sont les transposées de celles de la matrice initiale. Et comme une matrice et sa transposée ont même déterminant alors la réponse est oui.

[invitee75a2d43]

celles de la transposée sont les transposées de celles de la matrice initiale. Et comme une matrice et sa transposée ont même déterminant alors la réponse est oui.

Ben oui je crois que tu as raison. J´avais négligé la définition des matrices principales. merci