espaces vectoriels et diagramme de phase (thermodynamique)

[mach3]

Bonjour chers matheux,

Je suis dans la chimie et plus précisément dans la thermodynamique des systèmes hétérogènes et je me sers beaucoup de ce qu'on appelle des diagrammes de phases (diagrammes donnant l'état d'un système en fonction de sa composition et d'autres variables comme la pression, la température).

Vous allez me dire "quel est le rapport avec les maths?", eh bien en fait je cherche rationaliser ce qu'on appelle souvent l'espace des compositions, à savoir si c'est un espace vectoriel ou non, etc, sachant que je ne suis pas super doué en maths (j'ai des notions de 1ere et 2e année de fac).

Alors je vous présente la bête et ses propriétés. On considère l'ensemble des mélanges possibles entre n constituants. Chaque mélange pourra être caractérisé par un n-uplet du style (m₁, m₂, ..., m_n) ou m_i est la masse du constituant i dans le mélange. Cette ensemble constituerait un espace des mélanges.
On doit pouvoir décrire cette structure à l'aide d'un R-espace vectoriel à n dimensions, qu'en pensez vous?

Ensuite on peut extraire un sous-espace de cet espace des mélanges : en effet les propriétés d'un mélange dépendent de sa composition (X₁, X₂, ..., X_n) quelque soit sa masse, avec les variables de compositions X_i définies comme :
, avec

l'ensemble des n-uplet (X₁, X₂, ..., X_n) est donc l'ensemble des mélanges de masse unité. On a la relation :
, ce qui signifie qu'un des composants du n-uplet peu se déduire des autres, par exemple :

On peut donc se limiter à l'ensemble des n-1-uplets.
Cet ensemble est souvent appelé espace l'espace des compositions, mais il a une particularité par rapport à un espace vectoriel habituel : les composantes du n-1-uplet ne peuvent être ni négative ni supérieur à 1. Cela donne une forme de simplexe à l'espace en question (un triangle pour 3 constituants, un tetraèdre pour 4, un pentachore pour 5...).

Enfin les propriétés du barycentre relient ces structures. Par exemple une masse m_A d'un mélange de composition A et une masse m_B d'un mélange de composition B donneront un mélange de masse m_A+m_B de composition M telle que :



Ici , et sont des éléments de l'espace des compositions et , et sont des éléments de l'espace des mélanges.

Pour finir, l'espace des compositions n'est certainement pas euclidien (si il est vectoriel déjà, ce dont je doute), il n'y a pas lieu d'y définir un produit scalaire car il ne signifierais rien et donnerait un rôle spécial à l'un des constituant de façon arbitraire.

Je ne sais guère comment me dépêtrer de tout cela, et j'aimerais utiliser le vocabulaire adéquat (l'appellation espace par exemple est-elle abusive?). J'aimerais de l'aide pour définir quels sont ces structures algébriques et quelles sont les lois et les propriétés qui les régissent. Je ne sais pas si j'ai été très clair, je peux essayer de plus développer si besoin (mais pas taper si le vocabulaire vous écorche )

merci d'avance

m@ch3
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[invite35452583]

Ce que tu exposes est clair.
Mathématiquement ton "espace des mélanges" (de masse quelconque mais strictement positive) est un convexe fermé d'un espace vectoriel (on préférera même dire espace affine dans ce cas, en gros ça reste Rⁿ quand même).
définition intuitive de convexe : si on trace un segment dont les extrémités sont dans l'ensemble alors tous les points du segment y sont.
Autre définition équivalente : tout barycentre de points de l'ensemble avec des pondérations positives est dans l'ensemble.
Fermé : si tu prends une suite de mélanges qui converge vers un point de Rⁿ alors il converge vers un mélange. Autrement dit si le produit a son mélange qui évolue dans le temps en tendant à se stabiliser alors il se stabilise vers un mélange.
Ça ne caractérise pas entièrement ton espace mais je pense que c'est suffisant pour ce que tu auras à en faire.

Ton "espace des compositions" est un sous-ensemble du 1er qui est lui aussi convexe et fermé mais en plus compact (de toute suite de compositions on peut extraire une sous-suite qui converge vers une composition ou plus exactement à un point de Rⁿ correspondant à une composition donnée).
On passe du "grand" (mélanges) au "petit" (compositions) en projetant sur le petit à partir de l'origine. La composition correspondant à un mélange donné est en fait l'intersection de la droite passant par O et le "point mélange" et l'"ensemble des compositions".
Comme il est convexe il est stable par barycentre de pondérations positives.

Oublier la structure euclidienne me semble en effet adéquat.

[mach3]

wa merci c'est super, pis j'ai tout compris en plus , sauf la compacité, c'est pas très clair

Si d'autres voient des détails supplémentaires à ajouter, n'hésitez pas.

m@ch3

[invite35452583]

Tu peux remplacer compact par fermé+borné (les composantes sont toutes entre 0 et 1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

re bonjour,

j'ai maintenant des difficultés à associer la masse au corps des réels (R,+,x), en effet, le produit de deux masses est une masse au carré et le rapport de deux masse est sans unité (x n'est pas une loi interne). On peut aussi ajouter que la masse est forcément positive, donc bye bye les éléments symétrique par rapport à + (sauf si on considère les différences de masse, alors là le groupe (R,+) est tout à fait convenable).

Si les masses ne sont pas éléments d'un corps, alors mon espace n'est plus vectoriel ...

Ou alors j'ai peut-être loupé quelque chose en route, il faudrait multiplier un élément du corps de réel à la masse d'un étalon pour obtenir une masse. On a donc un R-espace vectoriel des masses (addition interne commutative et associative des masses, multiplication externe par un scalaire appartenant à R, etc...) dont la dimension est 1.
Ca m'a l'air de tenir la route, si on poursuit l'idée, on pourrait construire un R-espace vectoriel des grandeurs physiques où les vecteurs de base serait chacun une unité de mesure.

Donc la masse, R-espace vectoriel de dimension 1. Comment je construis mon espace des mélanges ensuite??? je dois avouer que je suis un peu perdu...

m@ch3

[mach3]

mdr ,

je vais me répondre à moi-même car je crois que j'ai compris

mon R-espace des masses à une dimension là, ben c'est l'ensemble des mélanges à 1 constituants. Si je veux l'ensemble des mélanges à n-constituants il suffit que je construise un R-espace vectoriel à n dimensions. On aurait donc comme vecteurs de base par exemple 1g de constituant 1, 1g de constituant 2, ... 1g de constituant n.

Si je reprends ma relation plus haut :



, et sont trois scalaires réels (des nombres sans dimensions)

, et sont des vecteurs (des masses)

, et sont d'autres vecteurs (d'autres masses)

J'ai bon?

m@ch3