Bonjour,
Tout le monde connaît le résultat suivant:
lim en +oo de (1 + x/n)^n = e^x.
Bon. Mais où pourrais-je trouver la preuve de ce résultat?
Merci d´avance
christophe
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Bonjour,
Tout le monde connaît le résultat suivant:
lim en +oo de (1 + x/n)^n = e^x.
Bon. Mais où pourrais-je trouver la preuve de ce résultat?
Merci d´avance
christophe
bonjour,
si x est réel, il suffit de faire des developpement limités.
par contre ce résultat est tjrs valable avec x complexe, mais la demo se fait avec avec les séries entieres et la formule du binome :
ya plus qu'a montrer que ça tend vers 0...
Salut,
Te fatigue pas, note exp(ln((1 + x/n)^n))=exp(n ln(1+x/n)) et fais un développement limité à l'ordre 1 de ln(1+x/n) en 0, puisque quand n tend vers l'infini, à x fixé, x/n tend vers 0.
je suis d'accord pour le choix de facilité des developpement limités, mais juste si x réel, si x complexe, on a pas les DL dans les complexes, d'où ce calcul...
Je vous propose ma démonstration, qui me semble correct en utilisant tout simplement la méthode d'Euler :
d'après la méthode d'Euler)
Ainsi :
Posons
On a alors :
En élévant l'égalité à la puissance n, on a alors, pour tout a de:
![]()
Oé, donc c'est un développement limité, un peu tordu...![]()
Moi pas connaître développement limité ^^
Et ca me semble pas si tordu que ca![]()
Rôôh ^^ Je suis quand même dans le sujet du topic =)
Et puis stop le flood, je te rappelle que t'es modératrice hihi
Baaah c'est du flood gentil !
et pis je parle de ta méthode, na
Voui, en effet, elle est bonne. C'est juste que généralement, on parle de DL pour démontrer ce machin ^^
@ toute !![]()
J'ai déjà du mal avec cette première équation dans la mesure où x dans le membre de gauche est une variable muette et pas dans le membre de droite, pour moi :
Sans parler d'élever une limite à la puissance de la variable qui tend vers l'infini, cela doit pouvoir donner des résultats vraiment bizarres... essaye avec![]()
Dernière modification par Médiat ; 28/02/2008 à 18h57.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir
Toute critique de la modération doit se faire en privé
Ok ça c'est VRAIMENT du flood..
EDIT : histoire d'être un peu dans le sujet, la remarque de Médiat n'est pas à prendre à la légère... La démonstration de bubulle est totalement non rigoureuse et c'est un miracle qu'elle parvienne au bon résultat![]()
C'est sûr que dans le cas où la valeur est 1, on tombe sur des absurdités.
Néanmoins, je pense que l'élévation à la puissance n ne pose pas de problèmes dans ce cas. Peut-être qu'il faudrait le prouver ...
De plus :
Honnêtement, je ne sais pas où se trouve l'erreur, vu que l'on garde une relation vraie tout le long de la "démonstration", même s'il y a de grandes chances que j'ai tord ^^
En fait, ça aussi ça pourrait passer pour un développement limité, à la différence près que c'est :C'est sûr que dans le cas où la valeur est 1, on tombe sur des absurdités.
Néanmoins, je pense que l'élévation à la puissance n ne pose pas de problèmes dans ce cas. Peut-être qu'il faudrait le prouver ...
De plus :
Honnêtement, je ne sais pas où se trouve l'erreur, vu que l'on garde une relation vraie tout le long de la "démonstration", même s'il y a de grandes chances que j'ai tord ^^
e^(1+x) ~ x, au voisinage de 0.
tu m'explique ton équivalent???:
parce qu'en 0, c'est pas vraiment ça, a moins que 2,718 = 0
je dirai plutoten 0...
Je m'embrouille -.-
C'est e^x ~ 1+x+...+x^n/n!
Sorry![]()
Tu es sur de ce que tu avances ?
Il me semble pourtant que le DL de e^x en zero est bien :
(Et puis un équivalent c'est avec un seul x à la puissance n à ma connaissance.. Donc le égal serait plutot de mise..)
Le prouver, c'est un peu le principe des maths, non ?
Quant à
tu aurais tout aussi bien pu écrire
et du coup tu n'aurais pas démontré pas le résultat attendu, ce qui montre bien que ce genre de raisonnement n'est pas valide (comme disait ma grand-mère : "On n'a jamais raison d'avoir raison pour de mauvaises raisons"
)...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il me semble avoir trouvé la solution la plus courte qu´il soit:
(1+ x/n)n = en.ln(1+x/n). Il s´agit donc de prouver que la limite en +oo de n.ln(1+x/n) est x.
j´écrit y = 1/n. Je dois donc trouver la limite en y = 0+ de ln(1+xy)/y.
Pour cela j´utilise de théorème de l´hospital en dérivant numérateur et dénomitateur et le tour est joué.
c´est bon?
Je connais pas la règle de l'Hospital, mais ça ressemble beaucoup aux développements limités et ça fait intervenir la même transformation![]()
Je crois bien que la seule bonne démonstration est celle de couillou, les autres n'étant juste que pour les réels ! (eh oui pas de logarithme chez les complexes ...). D'ailleurs pour l'avoir faite, elle marche bien et est assez intéressante (voire même astucieuse).
Mais sinon pour les réels, ça se ramène toujours à un développement limité à l'ordre 1.
A vrai dire, je n'ai pas réflechi à la véracité de cette "démonstration", étant donné que le résultat en découlait directement et était correct.Le prouver, c'est un peu le principe des maths, non ?
Quant à
tu aurais tout aussi bien pu écrire
et du coup tu n'aurais pas démontré pas le résultat attendu, ce qui montre bien que ce genre de raisonnement n'est pas valide (comme disait ma grand-mère : "On n'a jamais raison d'avoir raison pour de mauvaises raisons"
)...
Je ne me suis donc pas poser la question de prouver quoi que ce soit.
Pour ce qui est des deux limites, certes cela devient erroné, mais la relation que j'ai énoncé au départ est une approximation, ce qui est sensiblement différent (du moins je pense).
Bonjour,
Juste une remarque en passant
On peut tout à fait définir un logarithme sur les nombres complexes, en passant par les séries entières, et qui tant que l'on ne regarde pas la demi-droite des réels négatifs conserve exactement les mêmes propriétés que le logarithme sur les réels en ce qui concerne sa relation à l'exponentielle et son analyticité.
On peut après étendre le log aux réels négatifs, mais là plusieurs définitions peuvent arriver, et ce n'est pas si simple que ça de trancher...
bonjour,
faisant quid de la polémique, j'apporte une modification a mon début de démo: il ne faut pas montrer que
tend vers 0 mais que
on retombe alors dans le cas réel, un petit DL1 et zoupla...
petite correction de ma part : le membre de droite vers 0 car on est alors dans le cas réel, qui se démontre avec un petit DL1...