Exponentielle comme limite

invitee75a2d43 · 28/02/2008, 14h25

Bonjour,

Tout le monde connaît le résultat suivant:

lim en +oo de (1 + x/n)^n = e^x.

Bon. Mais où pourrais-je trouver la preuve de ce résultat?

Merci d´avance

christophe

invite71a2f53b · 28/02/2008, 14h55

bonjour,

si x est réel, il suffit de faire des developpement limités.

par contre ce résultat est tjrs valable avec x complexe, mais la demo se fait avec avec les séries entieres et la formule du binome :

$\text{[math]}$

ya plus qu'a montrer que ça tend vers 0...

**invite1237a629** · 28/02/2008, 15h03

Salut,

Te fatigue pas, note exp(ln((1 + x/n)^n))=exp(n ln(1+x/n)) et fais un développement limité à l'ordre 1 de ln(1+x/n) en 0, puisque quand n tend vers l'infini, à x fixé, x/n tend vers 0.

invite71a2f53b · 28/02/2008, 15h18

je suis d'accord pour le choix de facilité des developpement limités, mais juste si x réel, si x complexe, on a pas les DL dans les complexes, d'où ce calcul...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite10a6d253 · 28/02/2008, 15h54

Envoyé par couillou11

je suis d'accord pour le choix de facilité des developpement limités, mais juste si x réel, si x complexe, on a pas les DL dans les complexes, d'où ce calcul...

Ca marche encore dans les complexes, puisque les fonctions sont analytiques, non ?

**bubulle_01** · 28/02/2008, 18h03

Je vous propose ma démonstration, qui me semble correct en utilisant tout simplement la méthode d'Euler :
$\text{[math]}$ d'après la méthode d'Euler)
Ainsi :
$\text{[math]}$
Posons $\text{[math]}$
On a alors :
$\text{[math]}$
En élévant l'égalité à la puissance n, on a alors, pour tout a de $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

**invite1237a629** · 28/02/2008, 18h08

Envoyé par bubulle_01

Je vous propose ma démonstration, qui me semble correct en utilisant tout simplement la méthode d'Euler :
$\text{[math]}$ d'après la méthode d'Euler)
Ainsi :
$\text{[math]}$
Posons $\text{[math]}$
On a alors :
$\text{[math]}$
En élévant l'égalité à la puissance n, on a alors, pour tout a de $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

Oé, donc c'est un développement limité, un peu tordu...

**bubulle_01** · 28/02/2008, 18h15

Moi pas connaître développement limité ^^
Et ca me semble pas si tordu que ca

**invite1237a629** · 28/02/2008, 18h25

Envoyé par bubulle_01

Moi pas connaître développement limité ^^
Et ca me semble pas si tordu que ca

Ben quand on connaît les développements limités, ça peut paraître tordu ^^ Et je te rappelle que t'es dans les maths du supérieur et qu'on est censé connaître les DL

**bubulle_01** · 28/02/2008, 18h31

Rôôh ^^ Je suis quand même dans le sujet du topic =)
Et puis stop le flood, je te rappelle que t'es modératrice hihi

**invite1237a629** · 28/02/2008, 18h33

Baaah c'est du flood gentil !

et pis je parle de ta méthode, na

Voui, en effet, elle est bonne. C'est juste que généralement, on parle de DL pour démontrer ce machin ^^

@ toute !

**Médiat** · 28/02/2008, 18h52

Envoyé par bubulle_01

Je vous propose ma démonstration, qui me semble correct en utilisant tout simplement la méthode d'Euler :
$\text{[math]}$ d'après la méthode d'Euler)

J'ai déjà du mal avec cette première équation dans la mesure où x dans le membre de gauche est une variable muette et pas dans le membre de droite, pour moi :
$\text{[math]}$
Sans parler d'élever une limite à la puissance de la variable qui tend vers l'infini, cela doit pouvoir donner des résultats vraiment bizarres... essaye avec $\text{[math]}$

**invite9c9b9968** · 28/02/2008, 19h51

Envoyé par bubulle_01

Rôôh ^^ Je suis quand même dans le sujet du topic =)
Et puis stop le flood, je te rappelle que t'es modératrice hihi

Bonsoir

Toute critique de la modération doit se faire en privé

Ok ça c'est VRAIMENT du flood..

EDIT : histoire d'être un peu dans le sujet, la remarque de Médiat n'est pas à prendre à la légère... La démonstration de bubulle est totalement non rigoureuse et c'est un miracle qu'elle parvienne au bon résultat

**bubulle_01** · 28/02/2008, 19h58

C'est sûr que dans le cas où la valeur est 1, on tombe sur des absurdités.
Néanmoins, je pense que l'élévation à la puissance n ne pose pas de problèmes dans ce cas. Peut-être qu'il faudrait le prouver ...
De plus :
$\text{[math]}$
Honnêtement, je ne sais pas où se trouve l'erreur, vu que l'on garde une relation vraie tout le long de la "démonstration", même s'il y a de grandes chances que j'ai tord ^^

**invite1237a629** · 28/02/2008, 20h00

Envoyé par bubulle_01

C'est sûr que dans le cas où la valeur est 1, on tombe sur des absurdités.
Néanmoins, je pense que l'élévation à la puissance n ne pose pas de problèmes dans ce cas. Peut-être qu'il faudrait le prouver ...
De plus :
$\text{[math]}$
Honnêtement, je ne sais pas où se trouve l'erreur, vu que l'on garde une relation vraie tout le long de la "démonstration", même s'il y a de grandes chances que j'ai tord ^^

En fait, ça aussi ça pourrait passer pour un développement limité, à la différence près que c'est :

e^(1+x) ~ x, au voisinage de 0.

invite71a2f53b · 28/02/2008, 20h06

tu m'explique ton équivalent???:

parce qu'en 0, c'est pas vraiment ça, a moins que 2,718 = 0

je dirai plutot $\text{[math]}$ en 0...

**invite1237a629** · 28/02/2008, 20h10

Je m'embrouille -.-

C'est e^x ~ 1+x+...+x^n/n!

Sorry

invite7af75ce8 · 28/02/2008, 20h14

Tu es sur de ce que tu avances ?

Il me semble pourtant que le DL de e^x en zero est bien :

(Et puis un équivalent c'est avec un seul x à la puissance n à ma connaissance.. Donc le égal serait plutot de mise..)

invitec053041c · 28/02/2008, 20h47

Envoyé par MiMoiMolette

Je m'embrouille -.-

C'est e^x ~ 1+x+...+x^n/n!

Sorry

Envoyé par couillou11

je dirai plutot $\text{[math]}$ en 0...

mmmmm, pas de somme après un ~

.

**invite9c9b9968** · 28/02/2008, 20h50

Salut

Envoyé par Ledescat

mmmmm, pas de somme après un ~

.

Techniquement, ça reste juste vis-à-vis de la définition de l'équivalent ; inutile en effet mais juste

invitec053041c · 28/02/2008, 20h51

Envoyé par Gwyddon

Salut

Techniquement, ça reste juste vis-à-vis de la définition de l'équivalent ; inutile en effet mais juste

Voui, c'est juste, mais superflu...

J'ai envie de dire que exp(x)~1+2x en 0.. (et j'ai le droit)

**invite9c9b9968** · 28/02/2008, 20h53

Envoyé par Ledescat

Voui, c'est juste, mais superflu...

J'ai envie de dire que exp(x)~1+2x en 0.. (et j'ai le droit)

Oui tu as le droit, et c'est ton choix

**Médiat** · 28/02/2008, 21h55

Envoyé par bubulle_01

Néanmoins, je pense que l'élévation à la puissance n ne pose pas de problèmes dans ce cas. Peut-être qu'il faudrait le prouver ...
De plus :
$\text{[math]}$

Le prouver, c'est un peu le principe des maths, non ?

Quant à
$\text{[math]}$ tu aurais tout aussi bien pu écrire
$\text{[math]}$ et du coup tu n'aurais pas démontré pas le résultat attendu, ce qui montre bien que ce genre de raisonnement n'est pas valide (comme disait ma grand-mère : "On n'a jamais raison d'avoir raison pour de mauvaises raisons"

)...

invitee75a2d43 · 29/02/2008, 11h36

Il me semble avoir trouvé la solution la plus courte qu´il soit:

(1+ x/n)ⁿ = e^n.ln(1+x/n). Il s´agit donc de prouver que la limite en +oo de n.ln(1+x/n) est x.

j´écrit y = 1/n. Je dois donc trouver la limite en y = 0⁺ de ln(1+xy)/y.

Pour cela j´utilise de théorème de l´hospital en dérivant numérateur et dénomitateur et le tour est joué.

c´est bon?

**invite1237a629** · 29/02/2008, 14h27

Je connais pas la règle de l'Hospital, mais ça ressemble beaucoup aux développements limités et ça fait intervenir la même transformation

invite4fbb3489 · 29/02/2008, 14h56

Je crois bien que la seule bonne démonstration est celle de couillou, les autres n'étant juste que pour les réels ! (eh oui pas de logarithme chez les complexes ...). D'ailleurs pour l'avoir faite, elle marche bien et est assez intéressante (voire même astucieuse).
Mais sinon pour les réels, ça se ramène toujours à un développement limité à l'ordre 1.

**bubulle_01** · 29/02/2008, 16h12

Envoyé par Médiat

Le prouver, c'est un peu le principe des maths, non ?

Quant à
$\text{[math]}$ tu aurais tout aussi bien pu écrire
$\text{[math]}$ et du coup tu n'aurais pas démontré pas le résultat attendu, ce qui montre bien que ce genre de raisonnement n'est pas valide (comme disait ma grand-mère : "On n'a jamais raison d'avoir raison pour de mauvaises raisons"

)...

A vrai dire, je n'ai pas réflechi à la véracité de cette "démonstration", étant donné que le résultat en découlait directement et était correct.
Je ne me suis donc pas poser la question de prouver quoi que ce soit.
Pour ce qui est des deux limites, certes cela devient erroné, mais la relation que j'ai énoncé au départ est une approximation, ce qui est sensiblement différent (du moins je pense).

**invite9c9b9968** · 01/03/2008, 15h24

Bonjour,

Juste une remarque en passant

Envoyé par Zébule

(eh oui pas de logarithme chez les complexes ...)

On peut tout à fait définir un logarithme sur les nombres complexes, en passant par les séries entières, et qui tant que l'on ne regarde pas la demi-droite des réels négatifs conserve exactement les mêmes propriétés que le logarithme sur les réels en ce qui concerne sa relation à l'exponentielle et son analyticité.

On peut après étendre le log aux réels négatifs, mais là plusieurs définitions peuvent arriver, et ce n'est pas si simple que ça de trancher...

invite71a2f53b · 13/04/2008, 17h44

bonjour,
faisant quid de la polémique, j'apporte une modification a mon début de démo: il ne faut pas montrer que

$\text{[math]}$

tend vers 0 mais que

$\text{[math]}$

on retombe alors dans le cas réel, un petit DL1 et zoupla...

invite71a2f53b · 13/04/2008, 17h55

petite correction de ma part : le membre de droite vers 0 car on est alors dans le cas réel, qui se démontre avec un petit DL1...

Exponentielle comme limite

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Re : exponentielle comme limite

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