On suppose que E désigne l'espace vectoriel R3[X] des polynomes de degré inférieur ou égale à 3.
f(P)(X) = (1+X²)P"(X)-2XP'(X)
J'ai exprimé dans un premier temps la matrice associée a f dans la base canonique (1, X,X²,X^3) de E.
Ensuite il faut déterminer les réels L tels que le sous espace vectoriel EL ne soit pas réduit au polynome nul, sachant que EL = {x{E, f(x) = Lx}.
J'ai trouvé les réels {0,0,-2,-2}.
Mais ensuite, il m'est demandé de trouver une base de EL, dans le cas où EL n'est pas réduit au polynome nul.
1) E-2 = {xE, f(x) = -2x}.
f(x) + 2x = O(R4)
(x) (f+2Id(R4) = O(R4) je pose x =
(A + 2Id)
J'aboutis ensuite au système suivant :
x= (a,0,-a,0)
x= a(1,0,-1,0)
donc x= vect (1,0,-1,0)
2) E0 = {x E, f(x) = O(R4)}
(A)
Et donc là je suis bloquée car je n'ai pas de relation avec le a comme j'ai fait précedemment, alors je me demande si c'est la bonne méthode pour trouver la base de EL, car j'obtiendrais 4 vecteurs grace à cette méthode qui formeront la base. Mais ensuite je dois trouver une base de E et je ne vois pas comment faire autrement.
Pouvez-vous m'aider, svp?
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