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matrice et base



  1. #1
    Emmanuelle31

    matrice et base


    ------

    On suppose que E désigne l'espace vectoriel R3[X] des polynomes de degré inférieur ou égale à 3.
    f(P)(X) = (1+X²)P"(X)-2XP'(X)

    J'ai exprimé dans un premier temps la matrice associée a f dans la base canonique (1, X,X²,X^3) de E.


    Ensuite il faut déterminer les réels L tels que le sous espace vectoriel EL ne soit pas réduit au polynome nul, sachant que EL = {x{E, f(x) = Lx}.

    J'ai trouvé les réels {0,0,-2,-2}.

    Mais ensuite, il m'est demandé de trouver une base de EL, dans le cas où EL n'est pas réduit au polynome nul.

    1) E-2 = {xE, f(x) = -2x}.

    f(x) + 2x = O(R4)
    (x) (f+2Id(R4) = O(R4) je pose x =
    (A + 2Id)

    J'aboutis ensuite au système suivant :



    x= (a,0,-a,0)
    x= a(1,0,-1,0)
    donc x= vect (1,0,-1,0)

    2) E0 = {x E, f(x) = O(R4)}
    (A)



    Et donc là je suis bloquée car je n'ai pas de relation avec le a comme j'ai fait précedemment, alors je me demande si c'est la bonne méthode pour trouver la base de EL, car j'obtiendrais 4 vecteurs grace à cette méthode qui formeront la base. Mais ensuite je dois trouver une base de E et je ne vois pas comment faire autrement.

    Pouvez-vous m'aider, svp?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite43219988

    Re : matrice et base

    Bonjour.
    x est un vecteur, écrire n'a pas de sens.
    Tu devrais écrire .
    Tu remarqueras aussi que tu n'as pas de condition sur b, ce qui veut dire que le vecteur appartient à et qu'il n'appartient pas à .

    Pour ta méthode, c'est la bonne. Tu n'avais pas de condition sur b dans le premier système comme tu n'en as pas sur a pour le deuxième.

    Ton souci vient du fait que tu penses que tes espaces sont de dimension 1 alors qu'ils sont de dimension 2 (ce qui est plutôt sympa pour diagonaliser ta matrice). Il faut donc trouver deux vecteurs pour chacun de tes systèmes.

  4. #3
    Emmanuelle31

    Re : matrice et base

    oui c'est vrai, il faut donc que je trouve deux vecteurs dans chaque base.
    Or je n'arrive à trouver que (1,0,-1,0) pour la base E-2 et (0,3,0,1) pour la base E0. Comment je pourrais déterminer les autres vecteurs? Je ne vois pas comment faire.

  5. #4
    invite43219988

    Re : matrice et base

    Tu remarqueras aussi que tu n'as pas de condition sur b, ce qui veut dire que le vecteur appartient à et qu'il n'appartient pas à
    Tu as donc un deuxième vecteur non ?

    Pour le deuxième espace, tu trouves (0,3,0,1). Or tu n'as pas de condition sur a dans ton système ( et toi tu as posé arbitrairement a=0). Ne peux-tu donc pas trouver un autre vecteur indépendant du premier et qui vérifie bien AX=0 ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Emmanuelle31

    Re : matrice et base

    ah oui d'accord, c'est bon j'ai compris. merci

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