matrice et base

[invite69baa1f1]

On suppose que E désigne l'espace vectoriel R3[X] des polynomes de degré inférieur ou égale à 3.
f(P)(X) = (1+X²)P"(X)-2XP'(X)

J'ai exprimé dans un premier temps la matrice associée a f dans la base canonique (1, X,X²,X^3) de E.


Ensuite il faut déterminer les réels L tels que le sous espace vectoriel EL ne soit pas réduit au polynome nul, sachant que EL = {x{E, f(x) = Lx}.

J'ai trouvé les réels {0,0,-2,-2}.

Mais ensuite, il m'est demandé de trouver une base de EL, dans le cas où EL n'est pas réduit au polynome nul.

1) E-2 = {xE, f(x) = -2x}.

f(x) + 2x = O(R4)
(x) (f+2Id(R4) = O(R4) je pose x =
(A + 2Id)

J'aboutis ensuite au système suivant :



x= (a,0,-a,0)
x= a(1,0,-1,0)
donc x= vect (1,0,-1,0)

2) E0 = {x E, f(x) = O(R4)}
(A)



Et donc là je suis bloquée car je n'ai pas de relation avec le a comme j'ai fait précedemment, alors je me demande si c'est la bonne méthode pour trouver la base de EL, car j'obtiendrais 4 vecteurs grace à cette méthode qui formeront la base. Mais ensuite je dois trouver une base de E et je ne vois pas comment faire autrement.

Pouvez-vous m'aider, svp?
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[invitebb921944]

Bonjour.
x est un vecteur, écrire n'a pas de sens.
Tu devrais écrire .
Tu remarqueras aussi que tu n'as pas de condition sur b, ce qui veut dire que le vecteur appartient à et qu'il n'appartient pas à .

Pour ta méthode, c'est la bonne. Tu n'avais pas de condition sur b dans le premier système comme tu n'en as pas sur a pour le deuxième.

Ton souci vient du fait que tu penses que tes espaces sont de dimension 1 alors qu'ils sont de dimension 2 (ce qui est plutôt sympa pour diagonaliser ta matrice). Il faut donc trouver deux vecteurs pour chacun de tes systèmes.

[invite69baa1f1]

oui c'est vrai, il faut donc que je trouve deux vecteurs dans chaque base.
Or je n'arrive à trouver que (1,0,-1,0) pour la base E-2 et (0,3,0,1) pour la base E0. Comment je pourrais déterminer les autres vecteurs? Je ne vois pas comment faire.

[invitebb921944]

Tu remarqueras aussi que tu n'as pas de condition sur b, ce qui veut dire que le vecteur appartient à et qu'il n'appartient pas à

Tu as donc un deuxième vecteur non ?

Pour le deuxième espace, tu trouves (0,3,0,1). Or tu n'as pas de condition sur a dans ton système ( et toi tu as posé arbitrairement a=0). Ne peux-tu donc pas trouver un autre vecteur indépendant du premier et qui vérifie bien AX=0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69baa1f1]

ah oui d'accord, c'est bon j'ai compris. merci