Le problème :
On lance n dés équilibrés à 10 faces.
- On "gagne" s'il y a au moins un 10 dans le tirage.
- chaque 1 obtenu annule un 10 du tirage.
Exemples avec n = 4 :
- j'obtiens 5 6 9 et 3 : je perds
- 7 10 9 10 : je gagne
- 1 8 6 10 : je perds
- 10 10 1 1 : je perds
- 10 10 10 1 : je gagne
Objectif :
Trouver une formule qui donne la probabilité de gagner en fonction de n.
Le but étant de trouver à quelle valeur de n les chances de gagner sont maximales (et/ou la limite pour n infini).
PISTE No 1 :
On divise l'ensemble des résultats en quatre sous ensembles :
ensemble A : il y a plus de 10 que de 1 (je gagne)
ensemble B : il y a plus de 1 que de 10 (je perds)
ensemble C : il n'y a ni 10 ni 1 (je perds)
ensemble D : il y a exactement autant de 10 que de 1, et au moins un (je perds)
on en déduit :
P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1
par "symétrie" : P(A) = P(B)
donc :
P(A) = (1-P(C)-P(D))/2
P(C) paraît assez simple à trouver
P(C) = (8/10)n
P(D) est moins simple mais la discussion "problème de proba au dé" a trouvé. Avec k le nombre de 10 :
P(D) est alors égal à la somme des P(k) de k=1 à k=valeur entière de n/2
Sauf erreur, le raisonnement et le résultat de cette piste sont bons, mais pas assez simples pour trouver le maximum et la limite facilement.
Quelqu'un a-t-il une piste no 2 à proposer ???
Merci d'éviter les doublons
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