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problème aux dés à 10 faces



  1. #1
    matik

    problème aux dés à 10 faces


    ------

    Le problème :
    On lance n dés équilibrés à 10 faces.
    - On "gagne" s'il y a au moins un 10 dans le tirage.
    - chaque 1 obtenu annule un 10 du tirage.

    Exemples avec n = 4 :
    - j'obtiens 5 6 9 et 3 : je perds
    - 7 10 9 10 : je gagne
    - 1 8 6 10 : je perds
    - 10 10 1 1 : je perds
    - 10 10 10 1 : je gagne

    Objectif :
    Trouver une formule qui donne la probabilité de gagner en fonction de n.
    Le but étant de trouver à quelle valeur de n les chances de gagner sont maximales (et/ou la limite pour n infini).

    PISTE No 1 :
    On divise l'ensemble des résultats en quatre sous ensembles :
    ensemble A : il y a plus de 10 que de 1 (je gagne)
    ensemble B : il y a plus de 1 que de 10 (je perds)
    ensemble C : il n'y a ni 10 ni 1 (je perds)
    ensemble D : il y a exactement autant de 10 que de 1, et au moins un (je perds)

    on en déduit :
    P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1
    par "symétrie" : P(A) = P(B)
    donc :
    P(A) = (1-P(C)-P(D))/2

    P(C) paraît assez simple à trouver
    P(C) = (8/10)n

    P(D) est moins simple mais la discussion "problème de proba au dé" a trouvé. Avec k le nombre de 10 :


    P(D) est alors égal à la somme des P(k) de k=1 à k=valeur entière de n/2

    Sauf erreur, le raisonnement et le résultat de cette piste sont bons, mais pas assez simples pour trouver le maximum et la limite facilement.

    Quelqu'un a-t-il une piste no 2 à proposer ???

    Merci d'éviter les doublons

    -----
    Dernière modification par homotopie ; 18/04/2008 à 16h38.

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