Je voudrais montrer qu'un endomorphisme f de l'espace vectoriel M des matrices carrées de taille n tel que l'image d'une matrice A de rang 1 par f soit aussi de rang 1 est de la forme f(A)=PAQ avec P,Q € GLn(K)., mais j'ai eu des problèmes.
Je sais qu'une matrice A de rang 1 est produit d'une matrice colonne X de dimension n par une matrice ligne V de dimension n. J'ai montré que les ensembles {XV: X€C} et {XV: V€L} (où C est l'ensemble des matrices colonnes de dimension n et L celui des matrices lignes de dimension n) ainsi que leurs images respectives par f étaient des sous-espaces vectoriels de M de dimension n composés de matrices de rang 0 ou 1. J'ai aussi montré que si V,V'€L linéairement indépendants et X,X'€C sont tels que le rang de XV+X'V' soit 0 ou 1, alors X et X' sont liés. Mais je ne vois pas comment tout cela peut m'aider à répondre aux questions suivantes :
Soit X1,X2€C\{0} non colinéaires et Y1,Y2€L\{0} tels que f(X1L)=Y1L et
f(X2L)=Y2L :
1) montrer qu'il existe Q€GLn(K), en la définissant sur une base de L, telle que pour tout V dans L f(X1V)=Y1VQ;
2) montrer par l'absurde que l'on n'a pas f(X1L)=f(X2L);
3) montrer que pour tout V non nul dans L, il existe U non nul dans L tel que
f(CV)=CU;
4) que dire de f(XL) pour X€C\{0}?;
5) montrer que pour tout X€C\{0} il existe Y€C\{0} telle que pour tout V€L, on ait f(XV)=YVQ; et conclure.
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