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Démonstrations de suite



  1. #1
    beltime

    Démonstrations de suite


    ------

    Bonjour,

    C'est plus sur la rigueur d'une démo qui soit "Propre", que se pose mon problème !

    Voici les hypothèses :
    - lim n infini
    - u est décroissante

    Prouver que lim u_n = 0

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Ledescat

    Re : Démonstrations de suite

    Bonsoir.
    Comme (Un+Un+1) converge, cela veut dire que (Un+Un+1) est bornée à partir d'un rang.
    Soit k réel, positif il existe N0 à partir duquel -k=<Un+Un+1=<k (1)
    Si (Un) non bornée, il existe n0>=N0 tel que Un0=<-k donc pour satisfaire (1), il faudrait Un0+1>=Un0 (pour "compenser"), ce qui contredit Un décroissante.
    Donc (Un) bornée, décroissante, elle converge, donc lim(Un+1)=lim(Un).
    Donc lim(Un+Un+1)=0 ie 2lim(Un)=0, donc lim(Un)=0.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    taladris

    Re : Démonstrations de suite

    Les étapes de ma démonstration (je ne te donne pas les détails, faut que tu travailles un peu . Demande quand même si tu n'y arrives pas)

    Je pose
    1) montrer que est décroissante
    2) montrer que est positif ou nul pour tout n
    3) En déduire que est positif ou nul pour tout n
    4) En déduire que converge vers l
    5) Conclure

    ça me parait un peu tarabiscoté pour un cours de lycée. Le point 3 est le point essentiel de la démo (en fait les points 1 et 2 ne servent qu'à ça)

    Cordialement

    EDIT: Grillé!

  5. #4
    El Matador

    Re : Démonstrations de suite

    On aurait aussi pu raisonner en disant que si l est la limite de (Un), alors on a limUn=limU(n+1)=l quand n tend vers l'infini; or par hypothèse lim(Un+U(n+1))=0 donc 2l=0 soit l=0

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    taladris

    Re : Démonstrations de suite

    Citation Envoyé par manu tabeko Voir le message
    On aurait aussi pu raisonner en disant que si l est la limite de (Un), alors on a limUn=limU(n+1)=l quand n tend vers l'infini; or par hypothèse lim(Un+U(n+1))=0 donc 2l=0 soit l=0
    Il faut montrer que (Un) converge avant de pouvoir dire cela. Mais comme (Un) est décroissante, soit elle converge soit elle tend vers -infini (ce qui n'est pas possible d'après les hypothèses) donc c'est vite vu

  8. #6
    Ledescat

    Re : Démonstrations de suite

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Mais comme (Un) est décroissante, soit elle converge soit elle tend vers -infini (ce qui n'est pas possible d'après les hypothèses) donc c'est vite vu
    Comme ça, ça va bien plus vite .
    Cogito ergo sum.

  9. Publicité
  10. #7
    beltime

    Re : Démonstrations de suite

    C'est tarabiscotté car en fait, on passe par d'autres données de l'exo pour y arriver. Mais cela ne m'interessait pas, je trouvais que cette manière de faire est bien plus élégante, car on utilise juste ces deux infos au lieu de passer par les intégrales blabla...

    Merci bien pour vos réponses (rapides), je m'y mets dès demain !

  11. #8
    Gwyddon

    Re : Démonstrations de suite

    Je vous propose une autre démo, en revenant à la définition.

    On exploite la convergence de :

    soit , il existe tel que pour tout on a (1)

    On a par décroissance de la suite u on a , donc avec (1)

    pour

    pour

    On en déduit que pour tout on a : cela signifie que la suite u tend bien vers zéro.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    homotopie

    Re : Démonstrations de suite

    Salut,
    comme tout le monde semble vouloir trouver une preuve différente je vais en pondre une aussi :
    on pose
    D'une part, comme est décroissante on a pour n>0
    , d'où en divisant par 2 (>0)

    D'autre part, par hypothèse donc
    et il s'en suit que de même
    On conclue par le théorème des gendarmes de (1), (2) et (2') que
    Dernière modification par Gwyddon ; 26/05/2007 à 18h57.

  13. #10
    beltime

    Re : Démonstrations de suite

    homotopie > Ta démonstration est très élégante. Félicitations!

  14. #11
    Namsam

    Re : Démonstrations de suite

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    pour

    pour

    On en déduit que pour tout on a : cela signifie que la suite u tend bien vers zéro.
    Je vois pas comment on passe des 2 premieres lignes à la derniere
    ( il y a aussi une erreur je crois dans la 2eme inégalité, surement de frappe
    "Agis comme si ton action devait être érigée en principe universel"

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