Démonstrations de suite

[beltime]

Bonjour,

C'est plus sur la rigueur d'une démo qui soit "Propre", que se pose mon problème !

Voici les hypothèses :
- lim n infini
- u est décroissante

Prouver que lim u_n = 0
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[Ledescat]

Bonsoir.
Comme (Un+Un+1) converge, cela veut dire que (Un+Un+1) est bornée à partir d'un rang.
Soit k réel, positif il existe N0 à partir duquel -k=<Un+Un+1=<k (1)
Si (Un) non bornée, il existe n0>=N0 tel que Un0=<-k donc pour satisfaire (1), il faudrait Un0+1>=Un0 (pour "compenser"), ce qui contredit Un décroissante.
Donc (Un) bornée, décroissante, elle converge, donc lim(Un+1)=lim(Un).
Donc lim(Un+Un+1)=0 ie 2lim(Un)=0, donc lim(Un)=0.

[taladris]

Les étapes de ma démonstration (je ne te donne pas les détails, faut que tu travailles un peu . Demande quand même si tu n'y arrives pas)

Je pose
1) montrer que est décroissante
2) montrer que est positif ou nul pour tout n
3) En déduire que est positif ou nul pour tout n
4) En déduire que converge vers l
5) Conclure

ça me parait un peu tarabiscoté pour un cours de lycée. Le point 3 est le point essentiel de la démo (en fait les points 1 et 2 ne servent qu'à ça)

Cordialement

EDIT: Grillé!

[El Matador]

On aurait aussi pu raisonner en disant que si l est la limite de (Un), alors on a limUn=limU(n+1)=l quand n tend vers l'infini; or par hypothèse lim(Un+U(n+1))=0 donc 2l=0 soit l=0

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

On aurait aussi pu raisonner en disant que si l est la limite de (Un), alors on a limUn=limU(n+1)=l quand n tend vers l'infini; or par hypothèse lim(Un+U(n+1))=0 donc 2l=0 soit l=0

Il faut montrer que (Un) converge avant de pouvoir dire cela. Mais comme (Un) est décroissante, soit elle converge soit elle tend vers -infini (ce qui n'est pas possible d'après les hypothèses) donc c'est vite vu

[Ledescat]

Mais comme (Un) est décroissante, soit elle converge soit elle tend vers -infini (ce qui n'est pas possible d'après les hypothèses) donc c'est vite vu

Comme ça, ça va bien plus vite .

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[beltime]

C'est tarabiscotté car en fait, on passe par d'autres données de l'exo pour y arriver. Mais cela ne m'interessait pas, je trouvais que cette manière de faire est bien plus élégante, car on utilise juste ces deux infos au lieu de passer par les intégrales blabla...

Merci bien pour vos réponses (rapides), je m'y mets dès demain !

[Gwyddon]

Je vous propose une autre démo, en revenant à la définition.

On exploite la convergence de :

soit , il existe tel que pour tout on a (1)

On a par décroissance de la suite u on a , donc avec (1)

pour

pour

On en déduit que pour tout on a : cela signifie que la suite u tend bien vers zéro.

[homotopie]

Salut,
comme tout le monde semble vouloir trouver une preuve différente je vais en pondre une aussi :
on pose
D'une part, comme est décroissante on a pour n>0
, d'où en divisant par 2 (>0)

D'autre part, par hypothèse donc
et il s'en suit que de même
On conclue par le théorème des gendarmes de (1), (2) et (2') que

[beltime]

homotopie > Ta démonstration est très élégante. Félicitations!

[Namsam]

pour

pour

On en déduit que pour tout on a : cela signifie que la suite u tend bien vers zéro.

Je vois pas comment on passe des 2 premieres lignes à la derniere
( il y a aussi une erreur je crois dans la 2eme inégalité, surement de frappe