Analyse Mathematique

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Exercice 12

Polynômes d’interpolation de Lagrange

On considère E= R[X]3= {P∈ R[X] ;deg(P)<3} qui est un C-espace vectoriel. Soient a,b,c ∈R deux à deux distincts (a≠b,b≠c et c≠a). On pose
P_a (X)=(X-b)(X-c),P_b (X)=(X-a)(X-c) et P_c (X)=(X-a)(X-b).

1) Montrer que (Pa , Pb, Pc) est une base de E et écrire la matrice de passage de la base canonique (1,X,X²) de E à cette base.

Comment faire ?
Faut-il utiliser les notions de famille libre et de famille génératrice ?
Ou faut-il directement répondre aux deux questions en donnant le déterminant de la matrice de passage ?

En tout cas, je sais déjà que (Pa, Pb, Pc)doit être libre et génératrice pour être une base. Mais après...

Je suis donc un peu coincé...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît...

Merci d'avance

BONNE JOURNEE ET BON COURAGE

Signé : Le nouméen (néo-calédonien)
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[invite57a1e779]

Faut-il utiliser les notions de famille libre et de famille génératrice ?
Ou faut-il directement répondre aux deux questions en donnant le déterminant de la matrice de passage ?

On peut effectivement écrire la matrice représentant la famille dans la base , utiliser cette matrice pour montrer que est une base de et remarquer benoîtement que l'on a déjà écrit la matrice de passage...
On peut aussi s'attaquer directement à la liberté de en écrivant et en montrant, grâce à des évaluations bien choisies de cette combinaison linéaire, que .
On montre ensuite que c'est une base par raison de cardinalité de la famille, et on écrit enfin la matrice de passage.

[invite2089c2ce]

Merci pour votre aide !!!