longueur arc

[invite2c06a5d7]

Bonjours!
Est ce que quelqu'un pourrait me donner la démonstration qui permet de dire que "tout segment de droite est le plus court chemin d'un point à un autre".

Et de meme j'aurais besoin de la démonstration qui permet de dire que "tout arc de classe C1 est de longueur finie".

(J'en ai besoin pour démontrer un théorème)
Merci d'avance
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[invite769a1844]

Bonjours!
Est ce que quelqu'un pourrait me donner la démonstration qui permet de dire que "tout segment de droite est le plus court chemin d'un point à un autre".

Et de meme j'aurais besoin de la démonstration qui permet de dire que "tout arc de classe C1 est de longueur finie".

(J'en ai besoin pour démontrer un théorème)
Merci d'avance

Bonjour,

pour montrer que de classe est de longueur finie, tu peux utiliser la formule des accroissements finis.

Ensuite tu peux montrer que la longueur d'un segment joignant deux points x,y est ,

que la longueur d'une courbe joignant x à y est toujours , et que si cette courbe est différente du segment [x,y], la longueur est .

[invite2c06a5d7]

pouvez vous me dire comment je dois partir et à quel moment utiliser le théorème des accroissements finis?

Merci bcp

[invite769a1844]

pouvez vous me dire comment je dois partir et à quel moment utiliser le théorème des accroissements finis?

Merci bcp

on prend donc un arc de classe .

On prend une subdivision de ,

après tu regardes la variation totale de sur ,



là tu utilises le formule des AF sur les segments pour majorer par un majorant qui dépendra de ,

ensuite tu cherches un majorant qui ne dépend pas de la subdivision, et tu auras ainsi majoré la longueur de ton arc .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c06a5d7]

merci bcp!! En attendant j'avais commencer à rédiger une réponse et je m'approchais de ceci donc je suis contente!

Par contre concernant la démonstration où tout segment de droite est le plus court chemin d'un point à un autre je suis toujours bloquée..
Enfin je pense avoir une idée pour la fin de la démo mais au début j'ai un problème...
Je n'arrive pas à montrer que la longueur d'un segment joignant deux points x,y est ||x-y||. Pouvez vous m'aider?
Pour la suite de la démo j'ai majorer et ma réponse arrive à ce que je veux démontrer.
Merci de m'aider

[invite769a1844]

merci bcp!! En attendant j'avais commencer à rédiger une réponse et je m'approchais de ceci donc je suis contente!

Par contre concernant la démonstration où tout segment de droite est le plus court chemin d'un point à un autre je suis toujours bloquée..
Enfin je pense avoir une idée pour la fin de la démo mais au début j'ai un problème...
Je n'arrive pas à montrer que la longueur d'un segment joignant deux points x,y est ||x-y||. Pouvez vous m'aider?
Pour la suite de la démo j'ai majorer et ma réponse arrive à ce que je veux démontrer.
Merci de m'aider

Comment peux-tu exprimer dans ce cas là?

[invite2c06a5d7]

en disant que f est l'intégrale de 0 à 1 de ||vecteur (xy)|| ?

[invite769a1844]

en disant que f est l'intégrale de 0 à 1 de ||vecteur (xy)|| ?

non, tu as (paramétrisation naturelle du segment ).

Prends une subdivision ,

calcule la variation totale de sur , tu dois trouver (qui ne dépend pas de ),
ceci étant vrai pour toute subdivision , tu en déduis que la longueur de ton segment est aussi .

[invite2c06a5d7]

Comme ça c'est bon? :
Vf[x,y]= sup (somme de k=1 à k+1) |f(xk)-f(xk-1)|
= |f(xn)-f(xo)|
=|y-x|

merci bcp

[invite769a1844]

Comme ça c'est bon? :
Vf[x,y]= sup (somme de k=1 à k+1) |f(xk)-f(xk-1)|
= |f(xn)-f(xo)|
=|y-x|

merci bcp

c'est pas clair, prends plutôt une subdivision de ,

on a

[invite2c06a5d7]

merci bcp!! bonne journée